《系统辨识》课件.ppt

1、1,系统辨识,电气工程与自动化学院 陈 冲,2,课程主要内容,第一章 概 述,第二章 过渡响应法和频率响应法,第三章 辨识线性系统脉冲响应函数的相关分析法,结束,第四章 线性系统参数估计的最小二乘法,第五章 线性系统的状态估计法,3,第一章 概 述,一、建模的必要性,二、模型,三、建模方法,四、系统辨识的内容（或步骤）,4,一、建模的必要性,课程的核心问题是建模，主要是辨识建模。,系统辨识是研究辨识建模的理论和方法。,数学模型的主要用途：,控制理论与控制工程就一直围绕着 建立模型和控制器设计这两个主题来发展， 它们相互依赖、相互渗透并相互发展。,用来预报实际系统物理量,研究实际系统往往需要事先

2、知道一些物理量的数值，而其中有些量可能无法直接测量或测不准，所以需要建立数学模型来预报。,第一章 概 述,5,为了设计控制系统,目前,对被控系统的控制器的设计方法的选取,以及如何进行具体的控制结构和参数的设计都广泛依赖于对被控系统的理解及所建立的被控系统数学模型。,用于分析实际系统,工程上在分析一个新系统时，通常先进行数学仿真，仿真的前提必须有数学模型。,第一章 概 述,建模问题在控制器设计中起着非常重要的作用,是设计中首先需要解决的问题；是成功地进行控制器设计的关键之一。,第一章 概 述,系统的模型一般分物理模型与数学模型,物理模型：指用物理、化学、生物等材料构成的用于 描述系统中的关系和特

3、征的实体模型。,模型：就是把系统实体的本质信息简缩成有用的描述形式，,数学模型：描述系统中一些关系和特征的数据模型。,控制领域的数学模型就是指能用来描述系统的动态或静态特性和行为的数学表达式或方程。 是进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。,二、模型,是一种简化描述。,7,1、理论建模法：,通过对系统内在机理的分析，按照已知的一些物理定律导出各物理量关系来建立数学模型。 理论建模法建立的模型称为机理模型。,一般在理论建模中,根据模型应用的目的和精度要求,仅考虑系统中起主导作用的有限的几个因素即可。,缺陷： 当验前信息不足时，用理论建模法会遇到很大困难。 对于比较复杂的过程，必须对机理模

4、型简化，这就使得机理建模与实际过程间有一定的误差。,第一章 概 述,三、建模方法,8,理论建模通常只能用以建立比较简单系统的模型（白箱问题）。,由于许多系统的机理和所处的环境越来越复杂，因此，理论建模法的运用亦越来越困难，其局限性越来越大, 需要建立新的建模方法。,第一章 概 述,在被建模的装置尚不存在（设计阶段）或虽存在但无法进行实验时，理论建模是取得模型的唯一途径，是验前问题中唯一可行的方法。,理论建模的难点在于对有关学科知识及实际经验的掌握，故不属于课程的讨论范围。,在理论建模方法难以进行或难以达到要求的情况下，系统辨识建模方法就幸运而生。,9,2、辨识建模法：,对被控系统进行测试，利用

5、观测数据，通过辨识技术去构造系统模型的方法。,系统辩识是研究怎样利用对未知系统的试验数据或在线运行数据(输入/输出数据)建立描述系统的数学模型的科学。,系统辩识亦称为实验建模方法,它是“系统分析”和“控制系统设计”的逆问题。,第一章 概 述,是现代控制理论的一个分支。,1）完全辨识问题：,第一章 概 述,完全不了解系统的任何基本特性（定常时变；线性非线性；确定随机等）。 这类问题称为黑箱问题。这是一个极难解决的问题，通常需要对系统作某些主观的先验假设。,2）部分辨识问题：,系统的某些基本特性假定是已知的，但不知动态模型的阶次或有关的系数。 这类问题称为灰箱问题。显然比黑箱问题容易解决。,根据对

6、系统事先了解的程度（先验知识）可将辨识问题分成二类：完全辨识问题和部分辨识问题。,11,大部分工程系统及工业过程都属于灰箱问题。通常对系统的结构会有很多了解，因此可推导得系统特定的数学模型。在这种情况下只要定阶和确定模型中的一组参数。从而模型化问题简化为参数估计。因此参数估计是一个最重要的问题。,第一章 概 述,有效的辨识策略： 尽可能地掌握系统的先验知识，即尽可能地使系统“白化”；,有效的辨识方法：“灰箱”方法。将两种方法结合起来，互为补充。,对依然“黑”的部分，用理论建模方法不能确定的部分和参数，采用系统辨识方法。,12,第一章 概 述,系统辨识的框图,13,模糊数学创始人 L.A. Za

7、deh,第一章 概 述,1962年 Zadeh从数学的角度定义: 辨识就是在输入输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。,1978年瑞典的李龙(Ljung)提出 : 系统辩识的三个要素数据、模型类和准则。,系统辩识是按照一个准则，在模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。,拟合的好坏是一个不定的概念，所以要用准则来判别。,3、系统辨识的定义,所谓辨识建模是从实验数据出发，根据辨识的目的以及对过程已有的验前知识，预先给出一个模型类（线性的、非线性的、定常的、时变的、连续的、离散的 ）进行拟合。,14,第一章 概 述,它是一个迭代过程。 大致包括：试验设计，模型结构确

8、定，参数估计和模型验证。,四、系统辨识的内容（或步骤）,15,大致包括：试验设计，模型结构确定，参数估计和模型验证。,1、试验设计,第一章 概 述,1）选择变量：以提取有效的信息（数据）为目的。首先根据试验对象，确定所要观测的变量。 （u是人为给定的，y是观测的，y的选取不同会改变输出矩阵C的结构和数值。）,通常为得到试验设计前的必要的知识，必须进行一些预备性试验（摸底）。,四、系统辨识的内容（或步骤）,16,第一章 概 述,预备性试验：可用一些简单方法（阶跃响应，频率响应等）获得系统的如下信息：,主要时间常数（系统频宽，与试验长度有关） 允许的输入信号幅度（系统的线性范围） 过程的非线性与时

9、变性（有助于模型类的选择） 噪声水平（以便用多大的输入，使得观测量有多大的信噪比） 变量之间的延迟（滞后环节参数）,2）输入信号的选择（阶跃、方波、脉冲、PRBS）。,17,第一章 概 述,3）采样速度的选择（要采集数据就有采样速度选择问题）。实际上先采用较短的采样间隔，在数据分析时，可根据需要隔几个取一个数据。,4）试验长度的确定（试验时间问题）。辨识精度与试验时间的长短有关。,2、模型结构确定,根据辨识的目的及对被辨识系统的先验知识，确定系统所属的模型类,模型结构的选择主要取决于应用的目的及精度要求。通常模型精度与复杂性要折衷考虑。,18,第一章 概 述,常用的模型类： 参数的 或 非参数

10、的 线性的 或 非线性的 连续的 或 离散的 确定的 或 随机的 I/O的 或 状态的 时变的 或 定常(时不变)的 集中参数的 或 分布参数的 频率域的 或 时间域的 等等。,19,第一章 概 述,根据系统的空间、时间的离散化情况，模型可分为三类：,1）集中参数的连续时间模型：空间变量是离散的， 时间变量连续。如常微分方程，代数方程。,2）集中参数的离散时间模型：时、空变量均离散。 如差分方程，代数方程。,3）分布参数模型：时、空变量均连续，如偏微分方程。 它可以在空间上离散化，简化成分块集中参数，所以对它的辨识不介绍。,a,20,第一章 概 述,3、参数估计,模型结构确定后，其中未知部分就

11、要通过观测数据进行估计。通常未知部分是以未知参数出现，故辨识工作就成了参数估计。,4、模型验证,一个模型辨出来后，是否可靠必须进行多次验证。,参数估计的要求就是要辨识出来的模型与实际过程在某种意义下最“接近”。 所以必须有个准则衡量。,通常一个模型用一套数据进行辨识，然后用另一套数据来验证和修改。,21,第二章 过渡响应法和频率响应法,21 过渡响应法（时域法）,22 频率响应法（频域法）,23 多输入多输出线性系统传函（矩阵）的辨识,22,模型可以有不同的形式，不同的模型适于不同的系统。,古典辨识方法：采用时域法和频率法来辨识线性系统的传递函数。,原则上只适用于SISO线性系统。,SISO系

12、统通常采用传递函数。 MIMO系统通常采用状态空间表达式。,由实验来建立数学模型传递函数，可以为更复杂的系统辨识做预备性实验，它是现代系统辨识的基础，属于连续系统的数学模型的辨识领域。,第二章 过渡响应法和频率响应法,23,第二章 过渡响应法和频率响应法,试验信号的选用：,对系统模型的研究方法不同，输入试验信号也相应分成非周期的和周期的两种。,用时域法建模：输入信号为非周期的。 主要采用阶跃和方波（近似脉冲）函数。,用频域法建模：输入信号用周期的。 主要用正弦波，二进制周期函数。它们又分为单频和多频（组合正弦波及周期方波）,24,21 过渡响应法（时域法）,采用非周期试验信号，通过系统的动态响

13、应研究系统的模型。,一、非参数模型的辨识,在时域中建立线性系统非参数模型时，用很简便的方法就可得到脉冲响应曲线，阶跃响应曲线、方波响应曲线或它们的离散采样数据表。,对于线性系统，脉冲响应，阶跃响应和方波响应之间是可以相互转换的。,脉冲响应：可以采用幅值相当大，宽度很窄的方波来近似函数 。,第二章 过渡响应法和频率响应法,25,第二章 过渡响应法和频率响应法,二、由阶跃响应曲线辨识传函,1、试探法,工业中常用的模型类： （即便是高阶系统也用低阶模型去逼近）,由非参数模型转变成参数模型，包括确定传函的结构及参数。,先观察试验所得响应曲线的形状特征，据此判断，从模型类中确定一种结构。然后进行参数估计

14、，最后验证数据拟合程度，反复多次，直至误差e(t)最小（验证数据拟合可只取若干点）。,26,第二章 过渡响应法和频率响应法,1）若阶跃响应曲线特征为：,曲线逐渐上升到稳态值：,可采用结构：,待估参数为：K，T,稳态增益：,将试验曲线标么化，即 ,27,第二章 过渡响应法和频率响应法,要确定 T ，只要一对观测数据：y*(t1)，t1,则标么化后响应：,可得：,由,若取 y*(t1) = 0.63 ，则 T = t1,验证数据拟合如何， 可在 t=T/2 和 t=2T 二点进行：,若拟合不好，则应另选模型结构类。,1,28,第二章 过渡响应法和频率响应法,待估参数为：K，T，,稳态增益：,将试验

15、曲线标么化，即,2）实验曲线是一条S形非周期曲线,）可选用模型类：,则,为了确定 T 和，必须将两个坐标值（观测值）代入，,则,29,第二章 过渡响应法和频率响应法,两边同取对数得：,根据两对观测值 y*(t1) 和 y*(t2) ，可求出 T 和 。,30,第二章 过渡响应法和频率响应法,若选y*(t1) = 0.39，y*(t2) = 0.63，则,模型验证：,由,则,31,第二章 过渡响应法和频率响应法,待估参数为：K，T， ,究竟选一阶惯性带延时的模型结构，还是选二阶模型，事先无法确定，完全看两种模型与试验曲线拟合程度，哪个精度高，选哪个。,由于大多数工业过程的试验曲线是过阻尼的，即1

16、， 只讨论此种情况，而1的传函辨识比较麻烦。,）也可选用模型类：,S形曲线本身就说明是过阻尼（ 1）。 若 1 ,为振荡环节，响应曲线为振荡曲线， 不是S形曲线。,32,第二章 过渡响应法和频率响应法,稳态增益：,将试验曲线标么化，即 ,由于直接求T、不方便，所以转而取求传函的两个极点1、2 ，再由极点与参数T、的关系求出T、 。,从而转化成求 中的T、 。,分解因式：,则, 1， 1、2 0 且为实数。,33,第二章 过渡响应法和频率响应法,代入可得：,它的单位阶跃响应为：,改写为：,令 2 = 1 ( 1 ) ，代入上式得：,两边同取对数得：,第二章 过渡响应法和频率响应法,可见，当t 时

17、，是一条直线。,斜率：k = 1 ，截距：,则可得：, 2, T，,当t 时,35,第二章 过渡响应法和频率响应法,若用常用对数，则当t 时：,则：,缺点：计算G(s)时采用的点都是 t 较大时的点，而当 t 较大时，往往 1y*(t) 的值较小，这就会产生较大的误差。,b,36,第二章 过渡响应法和频率响应法,2、Laplace 变换的极限定理法（终值定理法）,利用 Laplace 变换的极限定理，由非参数模型的单位阶跃响应，求参数模型传递函数。它克服了试探法需选择模型类的不足，但它仅适用于下述一种模型类。,设线性SISO定常系统的传函结构为：,特点：系统只有极点、无零点。,37,第二章 过

18、渡响应法和频率响应法,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,终值定理为：,对于阶跃响应:,代入上式得：, K0,38,第二章 过渡响应法和频率响应法,在已存在的系统G(s)的基础上构造一个新系统G1(s)，当输入 u(t) = 1(t) 时，其单位阶跃响应为：,（y1(t)与 y(t)的关系）,求G1(s)的稳态增益K1 :, K1,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,39,第二章 过渡响应法和频率响应法, G1(s),求拉氏变换：,求得 G1(s) 与 G(s) 的关系:,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,40,第二章 过渡响应法和频率响

19、应法,再利用终值定理可求得G1(s)的稳态增益K1：, a1,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,41,第二章 过渡响应法和频率响应法, K2,同理，在系统G1(s)基础上构造一个新系统G2(s) 。,G2(s)的单位阶跃响应为：,求拉氏变换：,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,42,第二章 过渡响应法和频率响应法,再利用终值定理可得：, a2, G2(s),求得 G2(s) 与 G1(s) 的关系:,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：,43,第二章 过渡响应法和频率响应法,当输入u(t) = 1(t) 时，输出 y(t)为：, Kr,同

20、理，在系统Gr-1(s)基础上构造一个新系统Gr(s) 。,Gr(s)的单位阶跃响应为：,再用终值定理，由数学归纳法可得：, ar,44,第二章 过渡响应法和频率响应法,特点： ）每求一次Ki，要计算一次面积，所以计算量大，而且误差随着积分次数增大而增大。 故仅适用于低阶模型的辨识。,）使用过程受到一定的限制，仅适用于特定的模型结构（即传函G(s)只有极点，而没有零点的情况）。,由上述（n+1）个方程可求出（n+1）个待估参数： K，a1， ，an,45,第二章 过渡响应法和频率响应法,K1的物理意义：,由 可知，,K1为阴影部分的面积。 （几何意义）,将 G(s) 改写成极点形式：,显然：,

21、（物理意义）,1,46,第二章 过渡响应法和频率响应法,三、由脉冲响应曲线辨识传函,1、矩法,脉冲响应g(t)可由单位阶跃响应微分后求得，也可用窄方波响应来近似。（方波宽度对象过渡过程时间）,1）原理：,令,mi 称为g(t)的 i 阶矩（时域的矩），可以由试验曲线 g(t) 的数值积分求得。,实际上 mi 是 G(s) 泰勒展开式中的各个系数，于是可得G(s)的泰勒展开式：,mi,47,第二章 过渡响应法和频率响应法,矩法就是找一个近似的传函 ，使得它的泰勒展开式式的系数尽可能与实际传函G(s)泰勒展开式的系数相等。,使得,2）定模型类：,通常 总是 s 的有理分式：,48,第二章 过渡响应

22、法和频率响应法,3）参数估计：,待估参数：a1，an，b0，b1，bm，共 m+n+1个。,求 的泰勒级数展开式：,令,由（m+n+1）个方程可求得（m+n+1）个待估参数。,可以由脉冲响应数据求得。,49,第二章 过渡响应法和频率响应法,若取,则待估参数有4个：a1，a2，b0，b1 。 可令G(s) 与 的泰勒展开式的前四项系数相同。,可得：,解上述方程组可解出a1，a2，b0，b1 。,50,第二章 过渡响应法和频率响应法,展开式的前n项系数也可采用升幂长除法求得。,51,第二章 过渡响应法和频率响应法,特点： ）简单明了。（思路清晰）,）计算 m0，m1，m2， 的计算量大，而且数值积

23、分的误差越来越大。通常只适合于低阶系统。,）若取G(s)与 的泰勒展开式的前n项的系数分别相等，则有:,）模型类为 s 的有理分式，所以该法适应性广。, 频率特性 系统稳态时，t 相当频率特性的低频段，即 0， 故 s = j 0 。,复域中s 0 相当于时域中的 t ，所以估计出的参数精度主要局限于 t 的稳态情况。（稳态精度较好）,52,第二章 过渡响应法和频率响应法,2、Z 变换法,Z变换法是使得构造的模型传函 的脉冲响应 与实验数据中的 g(t) 在某些采样点上相等。,Z变换的定义（脉冲传递函数 G(z) 是脉冲响应函数的采样序列 g(kT) 的Z变换）：,1）原理：,Z变换法不是直接

24、去求 而是先求 ，即找一个近似的 ，使得 。,53,第二章 过渡响应法和频率响应法,2）定模型类：,取 为z1的有理分式：,3）参数估计：,待估参数：a1，an，b0，b1，bm，共m+n+1个。,求 关于z1的展开式：,采用z1的升幂长除法求得：,显然 关于zk的系数就是 在t=kT时的采样值。,54,第二章 过渡响应法和频率响应法,令 与g(t)在采样点t=kT（k=0，1，2，n+m）相等，即,从而求得 的待估参数：b0，b1，bm，a1，an,）只能保证在某些采样点上 与实验数据拟合，采样点之间无法保证相拟合。若用较简单的模型去逼近较复杂的实验曲线时。可能得到一个不稳定的传函。为了减小

25、误差，必须缩短采样周期。,4）由 求 ：,可查表求 与 的对应关系。,特点： ）计算简单。（无需象矩法那样求数值积分）,）采用的模型类为z的有理分式，故适应性广。,a,55,22 频率响应法（频域法）,第二章 过渡响应法和频率响应法,采用周期试验信号。通过系统稳态响应研究系统模型。,一、非参数模型的辨识,1、正弦波法,每次输入某一频率的正弦波，测量输出的稳态振荡波形，从而获得输出与输入的幅值比（幅频特性）和相位差（相频特性）。,1）单频信号：,每次试验只得频率特性上的一个点，费时间。,56,第二章 过渡响应法和频率响应法,它是相对于某一单频信号而言，包含有不同频率的单频信号。然后对输出量进行谐

26、波分析（富氏分析），从中分析出各个频率的输出波形。,2）多频信号,每次试验可得频率特性上的几个点。,一般在系统的主要频区上测试15个点，就可以建立系统的非参数模型。,3）特点,该方法未考虑系统的干扰噪声的影响，所以所得的模型数据中都含有噪声的干扰信号的影响。,57,方法误差（计算误差、近似误差）,引入噪声（过程噪声、量测噪声）,第二章 过渡响应法和频率响应法,由于实际系统的测量都是载噪的，而且噪声对观测数据的影响常常达到不可忽略的地步，因此当噪声影响足以使得要求的精度达不到时，就必须考虑噪声的影响。,2、相关法,n(t)：干扰噪声（过程噪声和量测噪声）。由于输入是人为的加入信号，所以可以认为是

27、无噪声的。,系统辨识的任务之一就是设法排除干扰的影响。采用相关方法可以提高对噪声的抗干扰性。,58,第二章 过渡响应法和频率响应法,随机过程,1) 平稳随机过程 X(t)：,均值:,均方值:,自相关函数: 是的单值函数,平稳随机过程的数字特征的特点： 均值为常数， 自相关函数为单变量（ = t2 t）的函数 （即不随时间的平移而变化）。,59,第二章 过渡响应法和频率响应法,2) 各态经历的平稳随机过程 X(t)：,依概率1收敛于时间均值,依概率1成立,对于各态历经的平稳随机过程，它的集平均（均值，自相关函数等），可以用一个样本的时间平均来代替。 因为它的任何一个样本函数都包含了随机过程的所有

28、状态以及各状态的分布情况。,样本函数：每进行一次观测得到一族时间 t 的函数 x(t) 就是随机过程 X(t) 的一个样本函数。,60,第二章 过渡响应法和频率响应法,白噪声是一种理想化数学模型，实际上如果某种噪声在比有用带宽宽得多的范围内具有比较“平坦”的谱密度，就可以近似当作白噪声处理。,白噪声：零均值，谱密度为非零常数，自相关函数为函数的平稳随机过程，且各态历经。,维纳辛钦公式：,谱密度 和自相关函数 是一傅里叶变换对。,61,第二章 过渡响应法和频率响应法,频率特性测试仪BT6：,62,第二章 过渡响应法和频率响应法,同理可得：,63,第二章 过渡响应法和频率响应法,由于n(t)具有零

29、均值和各态历经性，所以在足够多的周期下测取数据能使载噪的正、余弦的,所以可得系统频率特性的非参数模型：,由于它具有一定的抗干扰性，所以基本上可得到系统真实传函的非参数模型，是获得高精度模型的有效方法。,b,64,第二章 过渡响应法和频率响应法,二、由实验频率特性辨识传函,工业上常见的模型类的频率特性：,由非参数模型辨识参数模型。,65,第二章 过渡响应法和频率响应法,1、用一阶环节（模型）拟合,1）当实验所得频率特性近似为一个半圆时，可用模型:,待估参数为T和K。,为了提高精度，可在实验曲线的主频区内多取n个k和(k)，取它们的平均值，即,66,第二章 过渡响应法和频率响应法,2）带有纯滞后环

30、节,当实验曲线为：,待估参数为：T、K 和 。,可考虑系统也许有纯滞后特性，即采用模型：, 纯滞后环节对幅频特性无影响，只影响相频特性，即产生一个附加的滞后角 。, 将带纯滞后环节与不带纯滞后环节的频率特性相比较，就可以求出相应的参数和纯滞后时间。,67,第二章 过渡响应法和频率响应法,2）带有纯滞后环节,待估参数为：T、K 和 。,注意这里的k，k和k均为负角度，,68,第二章 过渡响应法和频率响应法,2、用二阶模型拟合,待估参数为K、T1和T2 。,1）当实验曲线分布在三、四两个象限。且 ，可采用模型:,69,第二章 过渡响应法和频率响应法,2、用二阶模型拟合,待估参数为K、T1 和 T2

31、 。,1）当实验曲线分布在三、四两个象限。且 ，可采用模型:,取=k，并将： K = r(0) G(j) = r(k) () = (k) 代入可求得：K，T1 和 T2 。,理论上只要一对观测数据k，r(k)和(k)即可求得参数，实际上可多取几个数据，然后求参数的平均值。,70,第二章 过渡响应法和频率响应法,2）带有纯滞后环节,可考虑采用模型 ：,先作不带滞后环节的：,可得G(j)的曲线。,从而得：,同理作图，,71,23 多输入多输出线性系统传函（矩阵）的辨识,第二章 过渡响应法和频率响应法,设MIMO系统有： r 个输入，m 个输出， 对应 yi 与 uj 之间的传函为： Gij(s)（

32、i=1,2,m, j=1,2,r）,系统的传递函数矩阵：,72,第二章 过渡响应法和频率响应法,显然，输出yi与r个输入的变化有关。由于线性系统满足迭加原理，故可采用逐次地改变每一个输入量，同时保持其他各个输入量为恒值。,仅改变 uj 值，同时采集y1、ym的值，采用SISO的建模方法，就可以求得 m 个传函：G1j(s)，G2j(s)，Gmj (s)。,在实际中，研究MIMO系统，往往采用状态空间法 (时域法)，而不用古典的频域法 (传递函数法)。,由现代控制理论可知，实际上两种方法有密切联系，即MIMO系统的状态空间描述和传递函数描述之间是可以相互转化的。,然后，逐次改变 uj ，j 由

33、1 到 r ，就可以求出全部 Gij(s)。,2,73,第三章 辨识线性系统脉冲响应函数的相关分析法,31 相关分析法（Correlation Function Methods）,32 伪随机二位式序列产生的方法及性质,33 用M序列辨识线性系统的脉冲响应函数,34 用逆重复M序列辨识线性系统的脉冲响应函数,35 用伪随机序列辨识系统的步骤,36 多变量系统的辨识,74,不能“在线”辨识，所处理的只是离线估计问题。,时域法和频域法的缺点：,所得的结果没有递推公式，只适合于非时变系统，不宜用于实时估计和自适应控制。,影响系统正常工作状态，甚至可能破坏设备。,抗干扰性差，通常不考虑系统的噪声干扰。

34、,实际上系统总是载噪的（过程噪声，量测噪声），所以在辨识中存在输入信号的信噪比与实际所允许的输入信号幅值的矛盾。（即：增大幅值信噪比，同时影响实际工况。）,采用伪随机二位式序列（PRBS）作为输入来辨识系统的脉冲响应函数，既可保证输入信号能激励系统的所有模态反应，又不会干扰系统的正常运行，而且可以进行在线辨识。,第三章 相关分析法,采用PRBS信号加上相关分析法的辨识，可克服上述的缺点。,75,系统噪声实际上存在各种难以精确描述的因素： 数学模型中未加以考虑的各种干扰作用，模型线性化及 其他类似的假设所引起的误差等（系统误差）。,第三章 相关分析法,这些难以用确定性模型来精确描述的随机因素对过

35、程的影响不容忽视，但这种影响一般都不会处于主导地位，因此处理它们的方式应尽量简化。一般在确定性模型上以迭加输入的方式来考虑噪声的影响，并将多个噪声源综合成一个等效的噪声源来描述。,输入输出的量测误差等（量测误差）。,31 相关分析法（Correlation Function Methods）,76,u(t)：系统输入变量 z(t)：系统真正的输出 y(t)：系统输出量的实际测量值 n(t)：随机干扰（噪声）(量测误差和系统误差的总误差),第三章 相关分析法,设输入 u(t) 是一个平稳随机过程，则由相关理论可知 z(t) 也是一个平稳随机过程。,由控制理论可知：,SISO系统：,77,平稳随机

36、过程的数字特征：均值=const，自相关函数为单变量函数（不随时间而变化。）,第三章 相关分析法,维纳霍甫方程,维纳霍甫方程是相关分析法的理论基础。,g(t)是一个确定量可提到均值号前面,通常求均值和积分允许交换顺序,输入输出的互相关函数Ruz()等于输入自相关函数Ruu()与系统脉冲响应函数g()的卷积。,78,设输入 u(t) 是各态历经的平稳随机过程，则输出 z(t) 也是各态历经的。,第三章 相关分析法,则可得：,自相关函数的集平均，可以用样本的时间平均来代替。,79,第三章 相关分析法,上式表明，通过相关分析得到实测的输出y(t)与输入u(t)之间的互相关函数Ruy()，在n(t)与

37、u(t)不相关的条件下（此条件常常能满足），等价于真实输出z(t)与输入u(t)间的互相关函数Ruz()，因此,相关分析法有较强的抗干扰能力，这是相关法的一个突出优点。,设n(t)与u(t)不相关，且 n(t)为零均值，则：,Run() =0,80,相关法与古典法的差别之一：抗干扰强,第三章 相关分析法, 古典法： 直接用u(t)和y(t)通过 求g()。, 相关法： 不直接用u(t)和y(t)，而要用u(t)，y(t)先算出Ruy()、Ruu()后，再解维纳霍甫方程 利用u(t)，y(t)计算Ruy()、Ruu()过程，即相关运算器具有滤除干扰n(t)的作用。,思路： 维纳霍甫方程 解决了抗

38、干扰问题,81,解决办法：选择输入u(t) 若采用白噪声作为输入，则维纳霍甫方程的解就简单多了。,第三章 相关分析法,思路： 维纳霍甫方程 解决了抗干扰问题 引出了解积分方程难的问题,问题： 维纳霍甫方程 是一个积分方程（算得Ruy() 、Ruu() ，求解 ） ，求解积分方程比较困难。,82,第三章 相关分析法,白噪声是一零均值，谱密度为非零常数，自相关函数为函数的各态历经的平稳随机过程，即：,思路： 维纳霍甫方程 解决了抗干扰问题 引出了解积分 方程难的问题 采用白噪声作为u(t)解决之，使得Ruy()与 成比例,显然，当采用白噪声输入时，Ruy() 与 成比例，这样估计 的问题就简化成求

39、 Ruy()了。,83, 相关法： 为了使得 ，可采用白噪声输入，即： u(t)= 白噪声，不干扰系统正常运行。,第三章 相关分析法,相关法与古典法的差别之二：不干扰系统正常工作, 古典法： 直接用u(t)和y(t)通过 求g()。,若采用脉冲输入： ，则： ， 将上述积分方程简化，但 干扰了系统正常运行。,将直接输入(t)转化成直接输入白噪声，通过求Ruu，Ruy，间接地将输入Ruu变成()。从而不干扰系统正常运行。,a,84,第三章 相关分析法,问题： 由于 在理论上要求积分时间T为无穷大，所以要求观测时间足够长。,解决办法：还是选择输入u(t) ！ 采用具有周期性的，近似于白噪声的伪随机

40、信号作为输入信号，以解决积分时间长的问题。,思路： 维纳霍甫方程 解决了抗干扰问题 引出了解积分 方程难的问题 采用白噪声作为u(t)解决之，使得Ruy()与 成比例 尚存在求Ruy()积分时间长问题 采用周期 性，近似白噪声伪随机信号解决之，并仍保持Ruy()与 成比例,85,第三章 相关分析法,1）周期性：u(t+T)=u(t) （解决用一个T周期的观测数据就可得到Ruy()的问题。）, 周期性平稳过程的自相关函数为周期函数。,86,第三章 相关分析法, Ruy()的积分范围只要在一个T周期内。,2）具有白噪声的性质： （保持 与Ruy()的简单比例关系）,Ruu()为周期函数，Ruu()

41、= Ruu(+T),87,第三章 相关分析法,若选择 T 大于系统脉冲响应的 过渡过程时间 Ts ，即： 当 T 时， g() 0,对于第一个周期的激励而言， （时间 在 0T 区间） 有：,88,第三章 相关分析法,采用具有上述二性质的输入信号后，即可保持采用白噪声信号所具有的优越性，又可以解决 Ruy() 的积分时间太长的问题，理论上只要在一个周期 T 内积分就可以了。,具有上述二性质的输入信号到底能找到吗？ 若有，又将如何产生呢？,思路： 维纳霍甫方程 解决了抗干扰问题 引出了解积分 方程难的问题 采用白噪声作为u(t)解决之，使得Ruy()与 成比例 尚存在求Ruy()积分时间长问题

42、采用周期 性，近似白噪声伪随机信号解决之，并仍保持Ruy()与 成比例,89,一、M序列产生的方法及性质：,第三章 相关分析法,随机地掷一枚硬币的随机试验，结果：正面：+1 ；反面：1,反复试验 得到以+1，1两元素组成的随机序列u(k)。,当实验次数N相当大时，该序列u(k)具有以下两性质：, 序列中+1与1出现的次数几乎相等；（ Eu=0 ）, 随机序列的自相关函数 Ruu(0) = max， 离开原点时， Ruu() = 0 。（Ruu ）,显然该序列接近于白噪声，最好它还应该是一个周期序列，在一个周期内具有上述白噪声性质。它在一个周期内观测时是一个随机信号；若观测时间很长时是一个周期信

43、号。,由于序列只有+1，1两元素，称为伪随机二位式序列 PRBS（Pseudo Random Binary Signal）序列 (它有规律性，故称伪随机，且可以人为产生和复制。),32 伪随机二位式序列产生的方法及性质,90,码数 NP = 6,M序列 最大长度的伪随机二位式序列。,第三章 相关分析法,由 n 个双稳态触发器 顺序组成 n 级移位寄存 器，将第 k 级与第 n 级 状态“异或”后，反馈 到第一级输入端。,究竟k选哪一级呢？它将影响输出的性质。若k选择合适，将得到一个M序列。（初态不能为全零，否则输出总是零）,码数 NP = 15,1、M序列的产生,91,一个 n 级移位寄存器的

44、输出序列的最大长度 = ？,除各级全0的状态外，共有（2n 1）种不同的组合状态。,第三章 相关分析法,若 NP = 2n 1，则该序列为最大长度序列或M序列。,当 n 12 时，大约半数序列要用二级反馈产生，其他的则要用 4 级反馈来产生M序列。,2、M序列的性质,1）是一个确定的周期性序列，它的周期长度 NP = 2n 1,2）一个周期内。“0”状态比“1”状态少1个。 （避免出现全“0”状态）,“1”状态：,“0”状态：,92,第三章 相关分析法,3）若将序列中相邻状态不变的那一部分长度称“游程”（或“段”），则在一个周期内的游程总数为 m 。, 不允许 n 个全零状态， 只有一个 n

45、个码为全“1”, 游程总数,如：n = 4 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0,m = 8,93,第三章 相关分析法,4）移位相加性： 若将一个M序列与将其延迟了r个码以后的序列，按模2加法原则相加，所得的新序列还是M序列，不过延迟了q个码，r、q均为整数，且1 r，q Np 1 。,， 1 r，q Np 1,例：,5）M序列具有近似离散的白噪声性质。,下面将详细讨论M序列的自相关函数和功率密度谱。,b,94,第三章 相关分析法,3、M序列的相关函数和功率密度谱：,1）相关函数：,定义:“1”状态的逻辑电平为“a”，“0”状态的逻辑 电平为“+a”（为负逻辑关系，反之结

46、论一样）。,由Ruu()定义可知：,95,第三章 相关分析法,(1) 离散情况( = / ):,其中： = / , 设 是 的整数倍，此时 Ruu() 取值于 = 0，1，2，Np1,Ruu()写成离散形式为：,显然模2乘法的结果与模2加法 的结果在逻辑上是完全一样的， 都为异或关系。,即：,同号码 +a2（0） u(k)与u(k + )码的电平符号相同。 异号码 a2（1） u(k)与u(k + )码的电平符号相异。, （同号码个数）（异号码个数）,96, =1，2，Np1,第三章 相关分析法, 当 =1，2，Np1 时：,u(k)u(k + )在逻辑状态上 相当于原序列u(k)与另一延迟

47、序列u(k+)按摸2加法原则相 加。根据M序列的移位相加性质 可知，所得的结果在逻辑状态上 仍是一个M序列。,当新的序列为“0”状态时，说明u(k)与u(k + )是同号 当新的序列为“1”状态时，说明u(k)与u(k + )是异号,97,第三章 相关分析法, 当 = 0 时： ( 同一个M序列自乘 ),98,第三章 相关分析法,（2）连续情况（ 不是 的整数倍）：,（为平均面积值）,为一个周期内曲线 u(t)u(t+) 所围成的面积。,即：一个周期内曲线 u(t)u(t+)所围成的： 正面积 负面积,99,第三章 相关分析法, 当 = 0 时： ( 0 ),M序列每出现一次状态转换，积分将出

48、现一个负面积( a2),负面积,正面积,100,第三章 相关分析法,负面积 ,正面积 ,101,第三章 相关分析法,它是 的线性函数，因此可确定其两点：,当= 0 时，Ruu()= a2 ; 当 = 时，Ruu()=, Ruu() = Ruu(-) 为偶函数， 在 内，Ruu() 为一个 波 。,102,第三章 相关分析法, 当 (+1) ，且 =1，2，Np1 时：,可像 = 0 时的做法一样，在 的基础上加上或 减去一些面积来得到 的平均面积， 可以发现从 中加上的面积正好等于减去的面积。,综上所述，可得：,103,第三章 相关分析法,104,第三章 相关分析法,M 序列的 Ruu() 是

49、一串周期性的 波，它与白噪声 的函数还有差别，但只要缩小 ，三角波的宽度变窄，Ruu() 就接近理想脉冲。,当 Np 时：,即, 此时 Ruu()为离散白噪声的自相关函数。,105,第三章 相关分析法,令：Ruu () = Ruu 1 () + Ruu 2 () ，则：,3,106,第三章 相关分析法,2）功率密度谱：,Ruu()是一个以TP为周期的周期函数，而周期函数的Fourier变换是一个离散的频谱，其基波频率 fo= 1/Tp,Ruu()的周期 TP = Np，且有界，满足Dirichlet条件，故可以展开复数形式的Fourier级数：,基波角频率：,Fourier复系数：,107,第

50、三章 相关分析法,根据维纳辛钦公式（Fourier变换对）：,M序列的功率密度谱uu()与自相关函数Ruu()是一个Fourier变换对，即,因为Ruu()的Fourier级数一致收敛，所以积分与求和可以交换顺序。,108,第三章 相关分析法,由函数的性质可知：f () = 1 与 F() = 2()是一个Fourier变换对，即,( ro )说明uu() 是一个离散的频谱，只能在 ro 处取值，所以：,109,第三章 相关分析法, Ruu() = Ruu(-) 为的偶函数,110,第三章 相关分析法,111,第三章 相关分析法,(1) 当 r = 0 时， = ro = 0 ，可得：,112

51、,第三章 相关分析法,(2) 当 r 0 时，,最后得：,uu()是一个离散的频谱，基波角频率：,113,第三章 相关分析法,M序列的功率密度谱 uu() 是一个离散的线条谱，且有一个 (Sinx/x)2 形的包络线，它的第一次取零的频率就是时钟脉冲的频率 1/ (=2/) 。,显然，uu() = uu(-) 是偶函数，是关于纵坐标对称的。,a,114,第三章 相关分析法,当满足 时,功率密度谱uu()下降3dB。, , 则,115,第三章 相关分析法, M序列的激励功率与试验信号的幅值平方 a2 成正比， 与序列长度 Np 成反比。,116,1、逆重复M序列的产生,将2NP个码的M序列u(k

52、)与2NP个码的方波信号m(k)， 按模2加法规则相加，即可得到逆重复M序列l(k)。,第三章 相关分析法,l(k)= u(k)m(k),1）逆重复M序列l(k)的周期 = 2Tp（即为原来M序列u(k) 周期的两倍，Tp= NP ）为偶数。,二、逆重复M序列产生的方法及性质：,2、M序列的性质,M序列u(k)的NP=2n 1为奇数，而方波m(k)的周期为偶数（2个码），所以2NP内的逆重复M序列l(k)不会重复。,u(k) m(k) l(k),117,2）逆重复M序列的前、后半个周期是逆重复的，即,第三章 相关分析法,l(t)= - l(t+Tp),3）一个周期内，“0”状态与“1”状态的个

53、数相等，各为 NP 。,若定义“1”状态的逻辑电平为“a”，“0”状态的逻辑电平为“+a”，则在周期2Tp内为零均值（更接近于白噪声）。,4）逆重复M序列l(k)与M序列u(k)不相关，即：Rul()=0, l(k) = - l(k+Np) u(k) = u(k+Np),118,第三章 相关分析法,5）逆重复M序列自相关函数Rll()与M序列自相关函数Ruu() 的关系为：,令：Rll () = Rll 1 () + Rll 2 (),119,第三章 相关分析法,Rll()= Rll 1()+ Rll 2(),120,第三章 相关分析法,Rll()= Rll 1()+ Rll 2(),Ruu(

54、)= Ruu 1()+ Ruu 2(),121,第三章 相关分析法,Rll 1() = Ruu 1() 0 (Np-1),122,第三章 相关分析法,逆重复M序列的Rll 1()等于M序列的Ruu 1()，即：Rll 1()= Ruu 1(), 逆重复M序列更接近于白噪声。,b,123,第三章 相关分析法,一、脉冲响应函数的辨识,在辨识线性系统的脉冲响应函数的试验中，需要将有关算法转变成离散形式。 当采样周期T0与M序列的时钟脉冲同步时，即T0= ，序列的长度Np满足（Np-1） Ts（系统的过渡过程时间），即： 当 t (Np - 1) 时， g(t) 0,维纳霍甫方程的离散形式为：,其中：

55、,33 用M序列辨识线性系统的脉冲响应函数,124,第三章 相关分析法,在离散情况下M序列的Ruu()为：, 它是由Ruu2()产生的,令,125,第三章 相关分析法, 脉冲响应函数 g(k) 有界， C 为有界常数，且 C 0,1、作图法,将 Ruy() 上移C 就可以得到：,- C 一般可以 通过对Ruy() 的 稳态值的目测得 到。,从而得到：,126,第三章 相关分析法,2、解析法,通过精确计算公式得到：,方程两边同求和，可得：,127,第三章 相关分析法,二、估计量 的统计特征,1、 是无偏的，即,方程两边同取均值，可得：,128,第三章 相关分析法,此时，又回到理论的维纳霍甫方程，

56、所以：,此时g()已经是一个确定的量了！,129,第三章 相关分析法,2、 是一致估计量，即,方程两边同取二阶原点矩，可得：,130,第三章 相关分析法,同证明无偏性一样，可得：,可得 的方差为:,自然说明了估计量 的有效性。,是一致估计量。,131,第三章 相关分析法,三、提高估计精度的方法,的估计精度取决于Ruy()的精度。,1、提高采样速率,提高Ruy()的精度：,取采样周期To= / (=14),用更多的y(t)数据计算Ruy()。,2、采用多个周期的M序列,输入r+1个周期的M序列，测得r个周期的y(t)计算Ruy()。,通常取 r = 14,4,132,第三章 相关分析法,四、计算

57、 的方法（采用多个周期）,1、一次完成法（离线计算法）,定义：,上式写出向量矩阵形式：,133,第三章 相关分析法,134,第三章 相关分析法,2）需要输入r+1个周期的u(k)：u(-Np+1) u(r Np-1) 。,特点： 1）一次离线求出 （=0,1，Np-1)。,3）精度要求较高时，Ruy()的计算精度要高，r的数目要大， 所以数据存储量大。,4）不是递推公式，无法在线辨识。,135,第三章 相关分析法,2、递推算法,设已获得M对I/O数据，且M （ = 0,1，Np-1 ， M Np-1），即必须先观测至少一个周期。,Ruy()的递推公式，即全部的M对I/O数据的Ruy(,M) 可

58、以用过去的(M-1)对I/O数据算得的Ruy(,M-1)和第M次观测的最新数据y(M)和u(M)递推地计算出。,136,第三章 相关分析法,可得向量矩阵形式：,令,137,第三章 相关分析法,可以通过过去的 和最新的数据y(M)和u(M)在线 求得，随着I/O数据的增加， 的精度不断地提高。,递推公式,138,第三章 相关分析法,用逆重复M序列辨识线性系统的脉冲响应函数，比采用M序列所得的算式更简单。,对于周期为2Tp的逆重复M序列，仍要求Tp满足 (Tp- ) Ts 。可得维纳霍甫方程为：,34 用逆重复M序列辨识线性系统的脉冲响应函数,139,第三章 相关分析法, Ts 在一个内可近似认为

59、g(t)是不变的，而 Rll 2() 在每个内均为以横轴为中点的直线，故：,a,140,第三章 相关分析法,离散化后为：, Rll 1(-k) 只在 k = 时有值：,141,第三章 相关分析法,定义：,同理，可得向量矩阵形式：,142,第三章 相关分析法,递推算法：,设已获得M对I/O数据，且M，同理可得递推算法：,递推公式：,特点：,1）由于 C = 0 ，所以算法相对M序列而言更简单。,这种趋势有助于判别试验结果的正确性。,143,第三章 相关分析法,一、预备试验,为了选定试验信号 PRBS 的 Np、和 a ，首先要粗略了解系统的过渡过程时间Ts和系统工作频带：fM(截止频率）、fm（最低工作频率），所以要做些简单的预备试验。,二、选择 PR