数学新学案北师大版选修课件第三章推理与证明 (4).pptx

1、1.1归纳推理,归纳推理 1.定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,将这种推理方式称为归纳推理. 2.归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理. 3.归纳推理结论真假 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的. 4.思维过程流程图 实验、观察概括、推广猜想一般性结论,名师点拨1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围. 2.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具. 3.归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推

2、理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.,【做一做】 (1)数列5,9,17,33,x,中的x等于() A.47B.65C.63D.128 (2)金导电、银导电、铜导电、铁导电,金、银、铜、铁都是金属,因此可猜想所有金属都导电,这种推理形式为. 答案:(1)B(2)归纳推理,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)统计学中,先从总体中抽取样本,再用样本估计总体,这种估计属于归纳推理. () (2)归纳推理得到的结论可以作为定理使用. () (3)归纳推理是由个别得到一般的推理. () (4)归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

3、. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,数式中的归纳推理 【例1】 观察如图所示的“三角数阵” 1第1行 22第2行 343第3行 4774第4行 51114115第5行 记第n行的第2个数为an(n2,nN+),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题: (1)依次写出a2,a3,a4,a5; (2)第6行的6个数依次为, ,; (3)归纳出an+1与an的关系式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,思路分析:观察数阵的每行、每列数的特征,对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解. 解:(1)a2=2,a3=4,a4=7,a5

4、=11. (2)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数. 故第6行的6个数依次为6,16,25,25,16,6. (3)a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4. 由此归纳:an+1=an+n.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.归纳推理的一般步骤: (1)观察:通过观察个别事物发现某些相同性质. (2)概括、归纳:从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题. (3)猜测一般性结论. 2.由已知数、式进行归纳推理的基本方法: (1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征

5、. (2)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (3)运用归纳推理得出一般结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知:sin230+sin290+sin2150= ; sin25+sin265+sin2125= ,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:. 解析:观察每个式子中三个角的关系:三个角分别成等差数列,即30+60=90,90+60=150;5+60=65,65+60=125.根据式子中角的这种关系,可以归纳得出: sin2+sin2(+60)+sin2(+120)= . 答案:sin2+sin2(+60)+sin2(+120)=,探究一,探究二,探究三,思维辨析

6、,图与形中的归纳推理 【例2】 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中灰色正六边形的个数是 (),A.26B.31C.32D.36 思路分析:数出前三个图案中灰色正六边形的个数,注意分析规律,由此规律作出推断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:灰色正六边形的个数如下表:,由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第6个图案中灰色正六边形的个数是6+5(6-1)=31.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常先把形状问题数字化,展现数字之间的

7、规律、特征,再进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图所示,图是棱长为1的小正方体,图、图由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,第n层,第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题:,(1)按照要求填表:,(2)S10=.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3, 推测S4=1+2+3+4=10, S10=1+2+3+10=55. 答案:(1)10(2)55,探究一,探究二,探究三,思维辨析,不等式中的归纳推理,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟

8、对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较,在不能用作差、作商法比较时,常用归纳、猜想、证明的方法,解题时对n的取值的个数要适当,太少易产生错误猜想,太多增大计算量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对概念理解不透致误 【典例】 设f(n)=n2+n+41(nN+),计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)的值,同时由归纳推理得到猜想,并判断所得的猜想是否正确. 易错分析:(1)误认为归纳得出的结论一定是正确的,实际上归纳推理的结论不一定正确. (2)归纳时数据偏少,不一定具有一致性,无法得出一般性的结论. 解:f(1)=12+1+4

9、1=43,f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83, 43,47,53,61,71,83都是质数,由此猜想对于任何nN+, f(n)=n2+n+41都是质数.这个猜想是错误的. 如f(40)=402+40+41=4041+41=4141就不是质数. 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练对任意正整数n,试归纳猜想2n与n2的大小关系. 解:当n=1时,2112; 当n=2时,22=22; 当n=3时,2352; 当n=6时,2662; 归纳猜想,当n=3时,2nn2; 当nN+,且n3时,2nn2.,1,2,3,4,5,1.数列2,5,11,20,x,47中的x等于() A.28B.32C.33D.27 解析:由前几个数字可归纳出此列数字为:2,5,11,20,32,47,故答案为B. 答案:B,1,2,3,4,5,2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,则第36颗珠子应是什么颜色() A.白色B.黑色 C.白色可能性大D.黑色可能性大