一元二次方程的定义和解法.ppt

1、一元二次方程及其解法,小结与复习,本章知识结构框图,一元二次方程,一元二次方程的定义,定义,一般形式,一元二次方程的解,解法,直接开平方法,配方法,因式分解法,公式法,求根公式,根的判别式,根的情况,二次三项式的因式分解,实际问题,应用,推导,一 . 一元二次方程的概念,知识点1 .定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,说明：,判断一个方程是否是一元二次方程时，先要观察其是否属于整式方程，再看其整理合并后是否符合： 只含一个未知数， 未知数的最高次数是2.,例题1：下列式子中哪些不是一元二次方程？并说明理由,（1）,（2）,（3）,（4）,（8）,（7）,

2、（6）,（5）,（a,b为已知数）,例题2：,当m取何值时，方程 是一元二次方程.,知识点2 一元二次方程的一般形式：,说明：,（1）a0是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分；,（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）都可化为一般形式，我们说一元二次方程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项都是对化为一般形式以后而言的；,（3）注意区分二次项和二次项系数，一次项和一次项系数，它们都包含前面的符号。,例题3：,将下列关于x的一元二次方程化为一般形式，再说出方程中的各项与各项系数。,（1）,（2）,（3）,（4）,知识点3：,一元二次方程的解（根）：能使

3、一元二次方程左，右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解（根）。,说明：,一元二次方程的解类同与一元一次方程的解，通常把未知数的值代入方程，若是方程的解即可使等式成立。,例题1: 判断方程后面括号里的数是否是方程的解：,（2）,（1）,例题2: 是不是一元二次方程 的根。,例题3:关于x的一元二次方程,有一个根是0，求,的值。,试一试，你一定可以！,一 . 基础练习,1. 一元二次方程的一般形式是。,2. 下列方程中是一元二次方程的是。,（ a 为实数 ）,3. 一元二次方程 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是。,4 。 已知一个一元二次方程的两个根分别是2，-5，那么这个方程是。,

4、5. 当m 值时， 是一元二次方程？,二. 能力提升,6. 将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，常数项。,（1）,（6）,（3）,（2）,（4）,（5）,8. 已知关于x的方程 各项系数的和等于5，求m的值,9. 写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二次项系数为2，并说明有一个根为-1一元二次方程具有什么特征。,7. 如果2是一元二次方程 的一个根，那么常数b的值为。,二. 一元二次方程的解法,知识点1 直接开平方法,如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合 形式求解。,说明：,直接开

5、平方法的理论依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法适用于解 形如 的方程 ；,形如 的一元二次方程。,例题1：,用直接开平方法解下列方程。,（1）,（2）,（3）,（4）,知识点2 因式分解法,1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法,3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：,（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。,例题：,用因式分解法解下列方程。,2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于0，则这两

6、个因式中至少有一个等于0，将一元二次方程分解成AB=0,则A=0或B=0。,1.,3.,5.,2.,6.,4.,知识点3 配方法,1. 定义：先把方程中的常数项移到方程的右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法。,2. 配方法的理论依据是完全平方公式：,3.用配方法解一元二次方程 的一般步骤：,（1）把二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；,（2） 移项：把常数项移到方程右边；,（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为,的形式；,（4） 当k0时，用直接开平方的方法解。,例题：,用配方法解下列方程：,（1）,（2）,（3）

7、,（4）,1.一元二次方程的一般形式是,它的求根公式是 ，,根的判别式是=,时 方程有两个不相等的实数根；,时 方程有两个相等的实数根；,时 方程无实数根。,知识点4 公式法, 0,= 0, 0,2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：,（1）把一元二次方程化为一般形式；（2）确定a,b,c的值；（3）求出的值；（4）若0，方程有两个根，写出两根；若0，则方程无解。,例题：,用公式法解下列方程。,（2）,（4）,（3）,（1）,解：,a=1 , b=7 , c=3,=,解：,解：,解：,原方程变形为：,原方程变形为：,原方程变形为：,=,=,=,a=4, b=4 , c=-1,a=2 , b=-6 , c=-3,a=6, b=-1 , c=-3,试一试，你一