CH17_1可微性.ppt

1、1,主讲教师: 王彩侠,数学分析,第17章,2,3,第1节,二、 可微性与全微分,一、偏导数,可 微 性,第17章,三、 可微性条件,四、 可微性几何意义及应用,4,一、 偏导数,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,将振幅,5,一元函数的导数是研究函数关于自变量的变化率问题,设,设,若其中,是不变的(视为常数),是,的一元,函数.,该一元函数关于自变量 x 的变化率就定义为二元函数对,的偏导数.,因此,一元函数的导数定义相仿.,则,6,1.定义1.,点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,有

2、定义,若极限,设函数,注意:,且,在,7,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,8,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),9,2.二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,是曲线,对 y 轴的斜率.,10,显然,例如,.偏导数存在与连续的关系,但已证 f (x

3、 , y) 在点(0 , 0)并不连续!,同理,？,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,11,12,13,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,14,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,15,例4:,解: 将,先将函数变形后求导有,16,例5: 求曲线,在点,处的切线,和,轴正向所构成的倾角.,解,所给的曲线是曲面,与平面,的交线。,该曲线在点,处的切线关于 y 轴的斜率为,所以，曲线在,处的切线与 y 轴正向所成的倾角为,17,偏导数记号是一个,例6. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数)

4、 ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,18,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,解,有关偏导数的几点说明：,19,二、可微性与全微分,应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,20,定义2: 若 z = f ( x, y )点,可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与,称为函数,在点,2)若函数在域 D 内各点都可微,有关，则称函数,f ( x, y ) 在点,的某邻域内有定义,则称此函数在D 内可微.,全增量,可微，,的全微分, 记作,(*),注意:1)(*)式亦可写成,其中,21,证明,令,则,在点 (0,0) 可微 .

5、,例7 证明,注: 此为证明二元函数可微的方法!,22,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义 :,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,23,三、 可微性条件,定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,24,例8: 函数,解:易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,

6、25,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,26,所以函数,在点,可微.,注意到, 故有,27,定理3,在点,设函数,的某邻域,内存在偏导数,若,则存在,和,使得,提示:令,由定理2证明过程易知.,此为二元函数的一个中值定理.,28,在点 (0,0) 可微 .,例9,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,证明函数,所以,29,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),30,4) 由例7知.,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的

7、充分条件.,在点 (0,0) 可微 .,31,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,32,例10. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,33,解,例11,34,解:,的全微分.,例12. 计算函数,例13. 计算函数,的全微分.,解:,35,例14. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,36,四、可微性几何意义及应用,定义3: 设P是曲面S上一点,为通过点P的一个平面,曲面S上的动点Q到定点P和到平面,的距离分别为d与

8、h.,若当Q在S上以任意方式趋近于P时,恒有,则称平面,为曲面S在点P处的切平面,P为切点.(见教材图P113),定理4:曲面,在点,处存在,不平行于z轴的切平面,在点,可微.,1.可微性几何意义(P115),37,证明:,若,在点,可微,由定义知,其中,现证明,表示曲面,在点,的切平面,事实上,曲面上任意一点,到平面的距离为,38,另一方面,P到Q的距离为,易知,所以由定义,平面,表示曲面,在点,的切平面.,39,若曲面,在点,处存在,不平行于z轴的切平面,曲面上任意一点,到平面的距离为,由切平面定义知, 当Q趋于P时,且对充分接近P的Q,有,40,即,于是,故有,进而,因此,是有界量.从而

9、由,41,也是有界量.于是,即,在点,可微.,42,曲面,法线方程,切平面方程,在点,可微时,定理说明当函数,43,微分的几何意义(见教材P115图17-4),二元函数,在点,的全微分,的值表示过点,的切平面上,当自变量,时的增量.,44,例15： 求曲面,在点,和法线方程。,解：,x = 1,y = 1,切平面方程：,法线方程：,处的切平面,45,可知当,2. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),46,例16.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,47,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例17. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,求此圆柱体,48,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,49,3. 微分定义:,4. 重要关系:,50,5. 微分应用, 近似