空间曲面及其方程 多元函数.ppt

1、2020年8月13日星期四,1,高等数学多媒体课件,华南农业大学理学院数学系,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2020年8月13日星期四,2,第六章 多元函数微积分,第一部分 空间解析几何,第二部分 多元函数微分学,第三部分 二重积分,2020年8月13日星期四,3,主 要 内 容,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第二节 偏导数 全微分,第三节 复合函数和隐函数的偏导数,第四节 二元函数的极值,第五节 二重积分,第六节 二重积分的应用,第七节 经济应用,2020年8月13日星期四,4,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第六章,四、多元函数,一、空间直角坐标系,二、空间曲

2、面与方程的概念,三、常见的空间曲面及其方程,五、二元函数的极限与连续性,2020年8月13日星期四,5,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,2020年8月13日星期四,6,向径,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,在直角坐标系下,2020年8月13日星期四,7,坐标轴 :,坐标面 :,20

3、20年8月13日星期四,8,2. 空间中两点之间的距离,于是空间两点间的距离公式为：,特别地,2020年8月13日星期四,9,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,例1 求证以,2020年8月13日星期四,10,3、向量及其运算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,2020年8月13日星期四,11,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移

4、到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,2020年8月13日星期四,12,(1) 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,2020年8月13日星期四,13,2020年8月13日星期四,14,三角不等式,(2) 向量的减法,2020年8月13日星期四,15, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,(3) 数与向量的乘积,2020年8月13日星期四,16,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证

5、数 的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,定理1,2020年8月13日星期四,17,则,例1 设 M 为,解:,2020年8月13日星期四,18,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,(4) 向量的坐标表示,2020年8月13日星期四,19,(5)利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,2020年8月13日星期四,20,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,例3 已知两点,2020年8月13日星期四,21,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,说明: 由,2020年

6、8月13日星期四,22,内容小结,2. 向量的概念及其线性运算,1. 空间直角坐标系,3. 利用坐标变量作向量的线性运算,2020年8月13日星期四,23,二、空间曲面与方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,2020年8月13日星期四,24,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y

7、, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,定义1,2020年8月13日星期四,25,故所求方程为,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例1 求动点到定点,2020年8月13日星期四,26,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),

8、都可通过配方研究它的图形.,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,例2 研究方程,2020年8月13日星期四,27,解,整理得,2020年8月13日星期四,28,三、空间常见的空间曲面及其方程,常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转面和二次曲面等. 空间曲线，特别是直线，在空间解析几何中非常重要. 下面，我们对这些图形作简单介绍.,2020年8月13日星期四,29,1. 平面及其方程,第六章,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2020年8月13日星期四,30,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法

9、向量.,量,则有,故,2020年8月13日星期四,31,2020年8月13日星期四,32,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,(General Equation of a Plane),2020年8月13日星期四,33,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D =

10、0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,2020年8月13日星期四,34,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例2 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,2020年8月13日星期四,35,解设所求的平面的方程为,得所求方程为,平面的截距式方程,2020

11、年8月13日星期四,36,内容小结,1. 平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,2020年8月13日星期四,37,2. 直线,第六章,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程,二、空间直线的参数方程,2020年8月13日星期四,38,因此其一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,2020年8月13日星期四,39,(Symmetric Expression),1. 对称式方程（点向式方程),故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和

12、它的方向向量,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,2020年8月13日星期四,40,设,得参数式方程 :,3. 参数式方程,(Parametric Form ),2020年8月13日星期四,41,例7 把直线L的一般方程,化为对称式方程和参数方程.,解,2020年8月13日星期四,42,即有,2020年8月13日星期四,43,因此，直线L的对称式方程为：,令,则得直线的参数方程为,2020年8月13日星期四,44,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,2020年8月13日星期四,45,3、柱面,引例 分析方程,表示怎样,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上,表示圆C,沿曲

13、线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面 ?,2020年8月13日星期四,46,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义,2020年8月13日星期四,47,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面

14、上的曲线 l3: H(z,x)=0.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.,母线,一般地,在三维空间,2020年8月13日星期四,48,定义 一条平面曲线,4、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.,例如 :,2020年8月13日星期四,49,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,2020年8月13日星期四,5

15、0,求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐,标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成,该变量与第三变量平方和的正负平方根.,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2020年8月13日星期四,51,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例8 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,2020年8月13日星期四,52,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,例9 求坐标面 xoz 上的双曲线,(旋转双

16、叶双曲面）,(旋转单叶双曲面）,2020年8月13日星期四,53,5、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),2020年8月13日星期四,54,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到),(1) 椭圆锥面,2020年8月13日星期四,55,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,(2)椭球面,2020年8月13日星期

17、四,56,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),2020年8月13日星期四,57,(3) 抛物面,(1) 椭圆抛物面,(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当a = b时为绕 z 轴的旋转抛物面.,2020年8月13日星期四,58,(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet),椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,(4) 双曲面,2020年8月13日星期四,59,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平

18、行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,2020年8月13日星期四,60,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面: 系数二项正,一项为负.,双叶双曲面: 系数一项正,二项负.,图形,(2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets),（a、b、c 是正数）,2020年8月13日星期四,61,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,2020年8月13日星期四,62,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双

19、曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,2. 二次曲面,2020年8月13日星期四,63,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,2020年8月13日星期四,64,2020年8月13日星期四,65,四、多元函数,第六章,一、区域,二、多元函数的定义,三、二元函数的几何意义,四、二元函数的极限与连续性,2020年8月13日星期四,66,1. 区域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面

20、上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,2020年8月13日星期四,67,开区域,闭区域,例如，在平面上,2020年8月13日星期四,68, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域；,但非区域 ., 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 ,界域 .,否则称为无,2020年8月13日星期四,69,2、多元函数的定义,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,2020年8月13日星期四,70,2020年8月13日星期四,71,3、二元函数的几何意义,图626,2020年8月13日星期四,72,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z =