2015高考总复习数学(文)课件：专题5 立体几何

1、专题五,立体几何,立体几何是高中数学的重要内容之一在历年高考试卷中 被定位于中、低档题各种题型均有出现，一般是“一小(或两 小)一大”预计高考对本节知识的考查主要是以下几个方面：,(1)求柱、锥、台、球体的面积或体积；,(2)重视新增的“三视图”(2007 年与 2009 年两次涉及解答 题)，通过给出的简单组合体的三视图，求其表面积、体积； (3)以三棱锥、四棱锥或三棱柱、四棱柱为载体，以线面平,行、线面垂直为核心，考查平行和垂直关系,题型 1,三视图与表面积、体积,例 1：(2012 年广东广州二模)某建筑物的上半部分是多面 体 MNABCD，下半部分是长方体 ABCDA1B1C1D1(如

2、图 5-1) 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 5-2，其中正(主)视图由 正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角 形组合而成 (1)求线段 AM 的长； (2)证明：平面 ABNM平面 CDMN； (3)求该建筑物的体积,图 5-1,图 5-2,(1)解：如图 5-3，过点M 作 MO平面ABCD，垂足为 O， 连接 AO. 由于 AB平面 ABCD，故 MOAB. 作 MPAB，垂足为 P，连接 PO. 又 MOMPM，且MO平面MPO，MP平面 MPO，,图 5-3,图 5-4,(2)证明：延长 PO 交 CD 于点 Q，连接 MQ，如图 5-3， 由(1)知：

3、AB平面 MPO.,MQ平面 MPO，ABMQ. MNAB，MNMQ.,MPMNM，MP平面 ABNM，MN平面 ABNM， MQ平面 ABNM.,MQ平面 CDMN，平面 ABNM平面 CDMN.,MP2MQ24PQ2，MPMQ.,(3)解：方法一，如图 5-3，作 NP1MP 交 AB 于点 P1，作 NQ1MQ 交 CD 于点 Q1，由题意知多面体 MNABCD 可分割 为两个等体积的四棱锥 MAPQD 和 NP1BCQ1 和一个直三棱 柱 MPQNP1Q1.,四棱锥 MAPQD 的体积为,【方法与技巧】三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等” 的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样

4、高，俯、侧 视图一样宽”.本题主要考查锥体体积、空间线线、线面关系、 三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力.,【互动探究】 1(2013 年广东广州二模)如图 5-5，已知四棱锥 PABCD 的正视图是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形，图 5-6、 图 5-7 分别是四棱锥 PABCD 的侧视图和俯视图 (1)求证：ADPC； (2)求四棱锥 PABCD 的侧面 PAB 的面积,图 5-5,图 5-6,图 5-7,(1)证明：如图 D35，依题意，可知点 P 在平面 ABCD 上的 正射影是线段 CD 的中点 E，连接 PE, 则

5、 PE平面 ABCD.,图 D35,AD平面 ABCD, ADPE.,ADCD，CDPEE，CD平面PCD，PE平面PCD， AD平面 PCD.,PC平面 PCD，ADPC.,(2)解：依题意，在等腰三角形 PCD 中，PCPD3，DE,EC2，,过点 E 作 EFAB，垂足为 F，连接 PF，,PE平面 ABCD，AB平面 ABCD，ABPE. EF平面 PEF，PE平面 PEF，EFPEE，,题型 2,平行与垂直关系,例 2：(2012 年广东深圳二模)如图 5-8(1)，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形，E，F 分别在棱 BB1 ， DD1 上，且 AF

6、EC1. (1)求证：AEFC1； 形，且 BE1，DF2，求线段 CC1 的长，并证明 ACEC1.,图 5-8,证明：(1)四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面ABCD 是平行,四边形，AA1DD1，ABCD.,DD1，CD平面 CDD1C1，AA1，AB平面 CDD1C1， AA1平面 CDD1C1，AB平面 CDD1C1. AA1，AB平面 ABB1A1，AA1ABA，,平面 ABB1A1平面 CDD1C1.,AFEC1，A，E，C1，F 四点共面,平面AEC1F平面 ABB1A1 AE ，平面AEC1F平面,CDD1C1FC1，AEFC1.,(2)如图 5-8(2)，设 ACBD

7、O，AC1EFO1， 四边形 ABCD、四边形 AEC1F 都是平行四边形， O 为 AC，BD 的中点，O1 为 AC1，EF 的中点 连接 OO1，由(1)知 BEDF，,AC2BC2AB25，即 ACBC.,BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD， ACBB1.,BC，BB1平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C. EC1平面 BB1C1C， ACEC1.,【方法与技巧】在立体几何的总复习中，首先应从解决“平 行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、 定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何 中解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂 直)、

8、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和 空间想象能力.,【互动探究】 2(2012 年山东济南联考)如图 5-9，四棱锥 SABCD 中， M 是 SB 的中点，ABCD，BCCD，SD平面 SAB，且 AB BC2CD2SD. (1)证明：CDSD； (2)证明：CM平面 SAD.,图 5-9,图 D3,证明：(1)由 SD平面 SAB，AB平面SAB，所以SDAB. 又 ABCD，所以 CDSD.,(2)取 SA 的中点 N，连接 ND，NM，如图 D36，,又 ABCD，所以 NMCD 是平行四边形,NDMC，且 ND平面 SAD，MC平面 SAD， 所以 CM平面 SAD

9、.,题型 3,空间角及空间距离,例 3：如图 5-10，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB4， ACBC3，D 为 AB 的中点 (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离； (2)若 AB1A1C，求二面角 A1CDC1 的平面角的余弦值 图 5-10,解：(1)由ACBC，D为AB的中点，得CDAB. 又CDAA1，故CD平面A1ABB1.,(2)取D1为A1B1的中点，连接DD1， 则DD1AA1CC1.又由(1)知CD平面A1ABB1， 故CDA1D，CDDD1， 所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角 因A1D为A1C在平面A1ABB1上的射影， 又已知AB1A1C

10、，得AB1A1D，,【方法与技巧】立体几何中的直线与平面的位置关系，以 及空间的三种角，是高考的必考内容，都可以采用传统的方法 来处理，对于直线与平面间的几种位置关系，可采用平行垂直 间的转化关系来证明，对于异面直线所成的角、直线与平面所 成的角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转 化为相交直线所成的角来处理本题主要考查立体几何中传统 的平行与垂直关系，并且考查了线面所成的角，难度并不是太 大，旨在考查考生对解题技巧的把握和抽象分析能力,【互动探究】 3(2011 年广东)如图 5-11，在锥体 PABCD 中，ABCD F 分别是 BC，PC 的中点 (1)证明：AD平面 DEF

11、； (2)求二面角 PADB 的余弦值,图 5-11,图D37,题型 4 折叠问题,例 4：(2012 年广东韶关二模)如图 5-12(1)，在等腰三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 边的中点，现将ACD 沿 CD 翻折，使得平面 ACD平面 BCD如图 5-12(2),(1)求证：AB平面 DEF； (2)求证：BDAC；,(3)设三棱锥 ABCD 的体积为 V1，多面体 ABFED 的体积,为 V2，求 V1V2 的值,图 5-12,(1)证明：在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得,EFAB.,又 AB平面 DEF，EF平面 DEF，AB平面 DEF

12、.,(2)证明：平面 ACD平面 BCD 于 CD，,ADCD，且 AD平面 ACD，AD平面 BCD. 又 BD平面 BCD，ADBD.,又CDBD，且 ADCDD，BD平面 ACD. 又 AC平面 ACD，BDAC.,(3)解：由(2)可知 AD平面 BCD，,又E，F 分别是 AC，BC 边的中点，,【方法与技巧】立体几何最重要的思想就是空间问题平面 化，当然也有许多将平面转换成立体几何的习题，如折叠问题， 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和 折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些 不变.如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面 面垂直的判定定理进行推理证明.,【互动探究】 4(2013 年广东)如图 5-13，在