2019年全国1卷理科数学详解详析

1、2019年全国1卷理科数学试题及详解广东广州兹能一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）A B C D【答案】C。【解析】由可得，故。故而可得，故选C。2设复数，在复平面内对应的点为，则（ ）A B C D【答案】C。【解析】由在复平面内对应的点为可得，故而，化简可得。故选C。3已知，则（ ）A B C D【答案】B。【解析】取中间值。，故而可得，故选B。4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与

2、咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm【答案】B。【解析】不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点，故可得，假设身高为，可解得，由题意可得，化简可得。故选B。5函数在上的图像大致为（ ）A BC D【答案】D。【解析】取特值。，故函数为奇函数；又，故选D。6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）A B C

3、 D【答案】A。【解析】一共可能有种可能，其中满足恰有3个阳爻的有种，故概率为，故选A。7已知非零向量，满足，且，则和的夹角为（ ）A B C D【答案】B。【解析】，将带入可得，即夹角为。故选B。8右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）AB CD【答案】A。【解析】运行程序框图。A第一步：，是；第二步：，是；第三步：，否，输出，故正确。故选A。9记为等差数列的前项和。已知，则（ ）AB C D【答案】A。【解析】由等差数列性质可得，解得，故。故选A。10已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则的方程为（ ）AB C D【答案】B。【解析】不妨设，故，由椭圆定义可得，故，在和中，分

4、别可得：，由二角互补可得，解得，故，方程为。故选B。11关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是AB C D【答案】C。【解析】分段函数讨论。由，故正确；时，函数递减，故错误；时，函数有两个零点，故时，故函数有且只有三个零点，故错误；函数为偶函数，故只需讨论正数的情况。时，最大值为2；，。故函数最大值为2.故选C。12已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，分别是的中点，则球的体积为（ ）AB C D【答案】D。【解析】如图所示，三棱锥为正三棱锥，不妨设，底面外接圆半径为。由题意可得，在中，由余弦定理可得，故中，又，故根据勾

5、股定理可得即，即。在直角中，。由正三棱锥外接球半径公式可得：，故体积为。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为 。【答案】。【解析】求导可得，故切线斜率为，故切线方程为。14记为等比数列的前项和。若，则 。【答案】。【解析】由可得，解得，即。故。15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 。【答案】。【解析】欲使甲队4:1获胜，则第五场甲胜，前四场甲胜

6、三场负一场。可能情况为：1负或2负或3负或4负，即两主场负一场或两客场负一场，故概率为。16已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点。若，则的离心率为 。【答案】2。【解析】不妨设点，故，由可得，解得。故，又，故，带入直线可得，解得，故离心率为2。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17的内角的对边分别为，设。（1）求；（2）若，求。【答案】（1） （2）。【解析】（1）由正弦定理可将化简为，整理可得：，由余弦定理可得，故。（2）由（1

7、）得，又，即，平方可得， 将代入可得，整理可得，即。代入中可得，即，化简可得，即，解得。18如图，直四棱柱底面是菱形，分别是的中点。（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值。【答案】（1）略。（2）【解析】（1）如图，连接，。分别是的中点， 是的中位线， 在四棱柱中，分别是的中点，四边形是平行四边形，平面（2）过作于点，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系。，底面为菱形。故，又分别是的中点，故：。不妨设半平面和的法向量分别为，可得：，令，故；，令，故；故，故。 19已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点分别为，与轴的交点为。（1）若，求直线的方程；（2）若，求。【答案】（1）（2）【解

8、析】（1）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，设，故由抛物线定义可得：，解得。故直线方程为：（2）设直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，设，故由可得，可得，带入上式可得，故直线方程为。解得：，故。20已知函数，为的导数。证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点。【答案】略【解析】证明：（1）令，求导可得：求二次导可得：，故在递减令，结合图像可知在内必有一解，设为。故，函数在上递增，在上递减。故函数在处取到唯一极大值。（2）由题意可得：，故为函数一零点。当时，此时函数递减，又，故函数在上无零点；当时，在上递增，在上递减，且，时，故。故在上先正后负，故函数在上先增后减。

9、又，故函数在内必有一零点。当时，故，函数无零点。综上：函数有且只有2个零点。21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮治疗结果得出后，再进行下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙

10、两种药的治愈率分别记为、，一轮试验中甲药的得分记为。（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中。假设、。（）证明：为等比数列；（）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。【答案】（1）【解析】解：（1）由题意可列分布列：（2）（）由题意可得，此时的分布列为：故，即化简可得：即，又故数列为公比为4的等比数列。（）由等比数列求和公式可得：即，又即此时说明，甲累计得4分，乙累计得0分，概率极小，符合甲乙两种药物都有效用的说法。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值。【答案】（1），；（2）【解析】解：（1）当时，可得，将带入前式可得，即；当时，也满足故