1.3.1函数的单调性与导数(第一课时).ppt

1、函数的单调性与导数,第一课时,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),复习引入:,在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（ ，1）上是减函数，在（1, ）

2、上是增函数。,在( ,)上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,2,.,.,.,.,.,.,.,观

3、察函数y=x24x3的图象：,总结(1):该函数在区间（，2）上单调递减,切线斜率小于0,即其导数f(x)为负,总结(2):该函数在当x=2时其切线斜率为0,即导数为0,总结(3):该函数在区间（2，+）上单调递增,切线斜率大于0,即其导数f(x)为正.,K0,K=0,K0,新课,函数的单调性(导数),一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果 则f(x)为增函数； 如果, 则f(x)为减函数,如果在某个区间内恒有 , 则f(x)为常数函数.,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形

4、状.,解:,当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增;,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递增.,(2) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(3) 因为 , 所以,因此, 函数 在 上单调递减.,(4) 因为 , 所以,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数

5、单调递减.,（1）：函数 y=lnx-x 的单调性.,（2）：函数 y=x4+x2 的单调性.,练习：,根据导数确定函数单调性的一般步骤：,1.确定函数f(x)的定义域.,2.求出函数的导数f(x).,3.解不等式f (x)0,得函数单调增区间; 解不等式f(x)0,得函数单调减区间.,1、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论,归纳,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D

6、),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓.,练习P26,3.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,练习,4.求证: 函数 在 内是减函数.,5:确定下列函数的单调区间:,解:(1)函数的定义域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此,f(x)的递增区间是: 递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),(2),由 即 得x1.,注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.,6:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范 围,并求其单调区间.,解:,若a0, 对一切实数恒成