轨迹方程的求法

1、轨迹方程的求法,(1)建系: 建立直角坐标系；,(2)设点: 设所求动点P(x,y);,(4)化简: 化简方程；,(5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。,(3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式;,求动点轨迹方程的基本步骤是什么？,复习回顾,题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式.,一、直接法,【例题1】,2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是_.,y2=8x(x0)或y=0(x0),1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨

2、迹,则此曲线的方程是_.,解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得,即 -4x+y2=4|x|,得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0),【练习】,二、待定系数法,题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p 满足的等式,求得其值,再代入所设方程.,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点P（-6，-3），则抛物线方程为_,【练习2】,三、定义法,分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.,已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0）， 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1

3、）PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.,【例题3】,【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.,【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， 即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点的轨迹是椭圆， 且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= ， 因此其方程为

4、（y0）. （2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r， 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支， 且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ， 因此其方程为,（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于 到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线， 且开口向左，p=4. 方程为y2=-8x.,1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2， 则P点的轨迹方程是_.,2.,3.,【练习3】,【练习3】第3题,【练习3】第3题-变式,16,16,【练习3】第3题-变式,四、代入法（相关点法）,当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上

5、的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。 设所求动点 P坐标 (x,y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.,此法实际上是利用中间变量x0,y0求轨迹方程,【例题4】,【练习4】,五、参数法,如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.,【例题5】,倾斜角为450的直线与椭

6、圆 交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹方程。,2. 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。,【练习5】,1.过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹方程。,2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。,解法一：利用韦达定理,解法二：点差法 连PO交CB于G.,设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则,作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0,即x0+y0k=0,又k=,消去k,得(x+3)2+y2=9,故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.,?,【练习5】,总结,一、求动点的轨迹方程的常用方法,1.求得的轨迹方