贵州省都匀第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）（通用）

1、贵州省都匀第一中学2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1. 下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 在空间直角坐标系中，点（2，1，3）关于平面xOz的对称点是（）A. B. C. D. 1,3. 空间中异面直线a与b所成角的取值范围是（）A. B. C. D. 4. 已知直线l的方程为y=2，则它的斜率为（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 若直线l的倾斜角满足，则其斜率k的范围为（）A. B. C. D. 6. 设直线l1：A1

2、x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则7. 空间任意一点O和不共线的三点E，M，N满足，则（）A. 四点O、E、M、N必共面B. 四点P、E、M、N必共面C. 四点O、P、M、N必共面D. 五点O、P、E、M、N必共面8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. 2D. 9. 如图，二面角-l-等于120，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，ACl，BDl，且2AB=AC=BD=2，则CD的长等于（）A. B. C. 4D.

3、510. 已知两条不同直线m，n和两个不同平面，下列叙述正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则11. 设直线m：4x-3y-1=0和n：y-1=0，则m和n成角（锐角）的平分线所在的直线方程为（）A. B. C. D. 12. 设mR，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则PAB周长的最大值为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 过点P（2，-3）且在两轴上的截距相等的直线方程为_（写出直线的一般方程）14. 设，是两个不共线的空间向量，若=2，=，且A，C，D三点共线，则实数k的值为

4、_15. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，直线AB1和A1C的夹角的余弦值为_16. 已知二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2在区间3，5上至少有一个零点，则a2+b2的最大值为_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知直线l经过两条直线l1：x-y+4=0和l2：x-2y+2=0的交点，直线l3：2x-3y+1=0；（1）若ll3，求l的直线方程；（2）若ll3，求l的直线方程18. 图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2（1）证

5、明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（ 2）求图2中的四边形ACGD的面积19. ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-40，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-30（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程20. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=AD=2，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的余弦值21. 一般地，对于直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0）及直线l外一点P（x0，y0），我们有点P（x0，y0）到直线l：Ax+

6、By+C=0（A，B不全为0）的距离公式为：（1）证明上述点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0）的距离公式；（2）设P为抛物线y=x2上的一点，P到直线l：x+y+2=0的距离为d，求d的最小值22. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点（）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；（）在（）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45，求直线DE与平面AB1C1成角的正弦值答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知

7、，故B不对；C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确故选：D根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断C本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力2.【答案】B【解析】解：由题意，关于平面xOz的对称点很明显y轴的正负性发生改变，而x轴和z轴不改变故点（2，1，3）关于平面xOz的对称点是（2，-1，3）故选：B本题主要思考y轴的正负性发生改变，而x轴和z轴不改变即可得到结果本题主要考查在空间直

8、角坐标系中点关于面的对称点，属基础题3.【答案】C【解析】解：根据异面直线所成角定义，空间中异面直线a与b所成角的取值范围是，故选：C根据异面直线所成角定义，直接求出考查异面直线所成角的范围，基础题4.【答案】A【解析】解：直线l的方程为y=2，直线y=2是平行于x轴的直线，其斜率为0故选：A直接由平行于x轴的直线的斜率为0得答案本题考查直线的斜率，是基础题5.【答案】C【解析】解：直线l的倾斜角满足，且k=tan，又tan=，tan，函数y=tanx在（，）上单调递增，k的范围为故选：C由直线的倾斜角的范围结合正切函数的单调性得答案本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查正切函数的单调性，是基

9、础题6.【答案】D【解析】解：直线A1x+B1y+C1=0的方向向量为（-B1，A1），直线A2x+B2y+C2=0的方向向量为（-B2，A2），当l1l2时，B1与B2可能都等于0，故“则”不一定成立，故A不正确A1B2=A2B1，不能说明l1l2，可能两条直线重合，所以B不正确，两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（-B1，A1）（-B2，A2）=0，可得A1A2+B1B2=0，故D正确，C错误；故选：D分别根据直线的平行和垂直判断即可本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件，涉及直线的向量以及方向向量，数量积的应用，考查了

10、推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】B【解析】解：空间任意一点O和不共线的三点E，M，N满足，由+=1，则四点P、E、M、N必共面故选：B根据空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式=x+y+z，P，A，B，C四点共面的充要条件是：x+y+z=1，判断即可本题考查了空间四点P，A，B，C共面的判断问题，是基础题8.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积V=，故选：A由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，画出直观图，代入锥体体积公式，可得答案本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状

11、，是解答的关键9.【答案】B【解析】解：过点D作ODl，OABD，ODOA=O，ACl，BDl，OD=AB=1，OA=BD=2，OC=12，CD=，故选：B由题意分别过点A，D作ODl，OABD，OD与OA交于点O，进而利用余弦定理，勾股定理求解考查二面角的理解，余弦定理，勾股定理的应用10.【答案】A【解析】解：由两条不同的直线m，n，两个不同的平面，知：在A中，若，m，m，则m，故A正确；在B中，若m，n，m，n，如果mn=A，则，如果mn，可能、相交，故B错误；在C中，若，m，则m，显然不正确，因为m可能与相交，故C错误；在D中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：A通过直

12、线与直线的平行与垂直，平面与平面的平行与垂直关系，结合直线与平面以及平面与平面的位置关系的判定定理以及性质定理，判断选项的正误即可本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题11.【答案】A【解析】解：利用草图数形结合分析得：角平分线l过点M且倾斜角为，直线m与直线n联立得：，因此M（1，1），且，=，从而解得：或tan=-2（舍）即直线l的斜率为从而直线l方程为：y-1=（x-1），化简得：直线l方程为：x-2y+1=0故选：A数形结合得出两直线的所成角（锐角

13、），做其角平分线，发现角平分线过两直线的交点且倾斜角为，从而点斜式得出直线方程本题属于中档题，难度不大，能够数形结合画出草图从而快速求得角平分线的斜率是解题的关键12.【答案】D【解析】解：直线l1：x+my-1=0过定点A（1，0），直线l2：mx-y-2m+=0即m（x-2）=y-，可得过定点B（2，），由于1m+m（-1）=0，得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=4由a2+b22ab，可得2（a2+b2）（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|，当且仅当|PA|=|PB|=时，上式

14、取得等号，PAB周长的最大值为2+2故选：D求出直线l1过定点A的坐标和直线l2过定点B的坐标，l1与l2交于点P，由题意可得PAPB，得到|PA|2+|PB|2=|AB|2=4利用基本不等式可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值本题是直线和不等式的综合考查，明确两条直线相互垂直是解答该题的关键，训练了利用基本不等式求最值，是中档题13.【答案】x+y+1=0和3x+2y=0【解析】解：一条直线过点（2，-3），且在两坐标轴上的截距相等，一是斜率为-1，所求直线方程为y+3=-1（x-2），即x+y+1=0；还有第二种情况直线过原点，所求方程为：y=-x，即3x+2y=0故所

15、求方程为：x+y+1=0和3x+2y=0故答案为：x+y+1=0和3x+2y=0一条直线过点（2，-3），且在两坐标轴上的截距相等就是说直线有两种情况，一是直线的斜率为-1，二是直线过坐标原点本题容易出错的地方一是过原点的直线漏掉，二是把截距看成了距离也可以设出点斜式用截距相等来解14.【答案】【解析】解：=2，=，=，又A，C，D三点共线，2-5k=0，k=，故答案为：先由求出，在根据A，C，D三点共线，得到，从而得到2-5k=0，解出k即可本题考查了三点共线和向量共线定理，考查了方程思想和计算能力，属基础题15.【答案】【解析】解：设以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间

16、直角坐标系，B1=（1，0，2），C（1，1，0），A1（0，0，2），则，=（1，1，-2）设直线AB1和A1C的夹角，cos=|cos|=|以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设直线AB1和A1C的夹角，求出相量带入即可考查向量法求异面直线所成的角，基础题16.【答案】【解析】解：把等式看成关于a，b的直线方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，所以a2+b22=，x-2+在3，4是减函数，2+x-2+1+5；即x-2+6；故；当x=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为故答案为

17、：把等式看成关于a，b的直线方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，进一步变化从而解得本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x2-1）a+2xb+x-2=0是难点，属于中档题17.【答案】解：（1）由，解得，l1与l2的交点为（-6，-2），设与直线l3：2x-3y+1=0平行的直线方程为2x-3y+c1=0，把（-6，-2）代入2x-3y+c1=0，解得c1=6所求直线方程为2x-3y+6=0；（2）设与直线l3：2x-3y+1=0垂直的直线方程为3x+2y+c2=0，把（-6，-2）代入2x-3

18、y+c1=0，解得c2=22所求直线方程为3x+2y+22=0【解析】（1）联立方程组求解l1与l2的交点坐标，设出与直线l3：2x-3y+1=0平行的直线方程为2x-3y+c1=0，把（-6，-2）代入直线方程求得c1，则答案可求；（2）设与直线l3：2x-3y+1=0垂直的直线方程为3x+2y+c2=0，把（-6，-2）代入求解c2，则直线方程可求本题考查直线方程的求法，考查直线的一般方程与直线平行、垂直的关系，是基础题18.【答案】（1）证明：由已知可得ADBE，CGBE，即有ADCG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得ABBE，由ABC为

19、直角三角形，可得ABBC，又BCBE=E，BC平面BCGE，BE平面BCGE，可得AB平面BCGE，AB平面ABC，可得平面ABC平面BCGE；（2）解：连接BG，AG，由AB平面BCGE，BG平面BCGE，可得ABBG，在BCG中，BC=CG=2，BCG=120，可得BG=2BCsin60=2，可得AG=，在ACG中，AC=，CG=2，AG=，可得cosACG=-，即有sinACG=，由（1）可得：ADCG且AD=CG=2，所以四边形ACGD为平行四边形，则平行四边形ACGD的面积为2=4【解析】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查

20、推理能力，属于中档题（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；（2）连接BG，AG，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值19.【答案】解：（1）AB边上的高CD所在直线方程为x+2y-4=0，其斜率为，直线AB的斜率为2，且过A（0，1）所以AB边所在的直线方程为y-1=2x，即2x-y+1=0；（2）联立直线AB和BE的方程：，解得：，即直线AB与直线BE的交点为B（，2），设C（m，n），则AC的中点D（，），由已知可得，解得：，C（2，1），BC边所在的直线方程为，即2x+3y-7=0【解析】

21、本题考查了求直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的交点，属于基础题（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；20.【答案】证明：（1）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点取AD的中点F，连接NF，FE，如图所示所以MNBF，BFED，所以MNED由于MN平面DEC1，DE平面DEC1，所以MN平面C1DE（2）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADABB1A1，由于M为BB1的中点，AB=2，AA1=4，所以，所以，故A1MAM所以AMD为二面角A-MA1-N

22、的平面角在RtAMD中，所以即二面角A-MA1-N的余弦值为【解析】（1）直接利用线面平形的判定求出结果（2）首先求出二面角的平面角，进一步利用解三角形知识的应用求出结果本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，二面角的应用，主要考查学生的空间想象能力的应用，属于中档题21.【答案】解：（1）证明：A0，B0时，如图所示：则直线l：Ax+By+C=0与x轴，y轴都相交过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线l于点R，S，则直线PR的方程为y=y0，R（-，y0），直线PS的方程为x=x0，S（x0，-），由P（x0，y0）于是有|PR|x0+|=|，|PS|=|，|RS|=，设P到直线l的距离为

23、d=|PQ|，由三角形面积计算公式可得d|RS|=|PR|PS|d=，可以验证A=0，或B=0 时，上述公式也成立综上可得：点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0）的距离公式为d=；（2）P为抛物线y=x2上的一点，设P（x0，x02），则P到直线l：x+y+2=0的距离d=，当x0=-时，即P（-，），d取得最小值【解析】（1）分别讨论：A0，B0时，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线l于点R，S，求得R，S的坐标，可得|PR|，|PS|，|RS|，再由三角形的面积公式，运用等积法，计算可得所求距离，再讨论可以验证A=0或B=0时，公式也成立；（2）设P（x0，x02），运用点到直线的距离公式，结合二次函