2019版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第59讲绝对值不等式优选学案

1、第59讲绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1).(2).2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c，c，c.2017全国卷，232017全国卷，232016江苏卷，21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主分值：510分1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么，当且仅当_ab0_时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么，当且仅当_(ac)(cb)0_时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式a，a的解集不等式a0a0a0a_x|axa_a

2、_x|xa或xa_x|xR且x0_R_(2)c(c0)和c(c0)型不等式的解法ccaxbc；caxbc或axbc.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)对当且仅当ab0时等号成立()(2)对当且仅当时等号成立()(3)对当且仅当ab0时等号成立()(4)c的解等价于caxbc.()(5)不等式2的解集为.()2设ab0，a，bR，那么正确的是(C)ABCD解析由ab0，得a，b异号，易知|ab|ab|，|ab|a|b|，|ab|a|b|，C项成立，A，B，D项均不成立3不等式13的解集为(D)A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)解析1|x1|31x13或3x

3、110x2或4x2.4不等式23x的解集是(C)A xBxCxDx解析|2x1|23x3x22x123xx.5若不等式4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_(5,7)_.解析由|3xb|4得43xb4，即x.不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则5b7.一绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍【例1】 解不等式5.解析将原不等式转化为|x1|x2|50，令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示由图可知

4、，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，)二绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式进行证明(3)转化为函数问题，数形结合进行证明【例2】 设aR，函数f(x)ax2xa(1x1)，若|a|1，求证：|f(x)|.证明方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.方法二设g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，当x1，即x210时，|f(x)|g(a)|1；当1x1，即x210时，g(a)ax2xa是单调递减函数|a|1，1a1，g(a)maxg

5、(1)x2x12；g(a)ming(1)x2x12.g(a)，|f(x)|g(a)|.三绝对值不等式的综合应用对于求y或y型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y的函数只有最小值，形如y的函数既有最大值又有最小值【例3】 (2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解析(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式可化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2.所以f(x)g(x

6、)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1上的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,11解不等式1.解析当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(2x1)1，解得x2，x2.综上可知，原不等式的解集为.2已知x，yR，且，求证：1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|，由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321，即|x5y|1.3(2017全国

7、卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解析(1)f(x)当x2时，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.4(2016全国卷)已知函数f(x)a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x).当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解析(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解

8、集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，当x时等号成立，所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解；当a1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)错因分析：先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误【例1】 已知，.求证：.解析设m(xy)n(2xy)xy，则解得.【跟踪训练1】 (2016江苏卷)设a0，求证：a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.课时达标第59讲解密考纲对本考点的考查以填空题和解答题为主，填

9、空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等1函数f(x)axb，当|x|1时，都有|f(x)|1，求证：|b|1，|a|1.证明|f(x)|1，令x0，得|f(0)|1，|b|1.|f(1)|ab|1，|f(1)|ab|1，2|a|abab|ab|ab|2.|a|1.2已知f(x)|x1|x2|，g(x)|x1|xa|a(aR)(1)解不等式f(x)5；(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)|x1|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而2对应点到1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到1和2对

10、应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)5的解集为2,3(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，即|x2|xa|a恒成立而|x2|xa|的最小值为|2a|a2|，|a2|a，(2a)2a2，解得a1，故a的取值范围为(，13设f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)若对任意的xR，f(x)4，求实数a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)|x1|x1|其图象如图所示根据图象易得f(x)3的解集为.(2)由于f(x)|x1|xa|x1|ax|a1|，对任意的xR，f(x)4等价于|a1|4，解得a5或a3，故实数a的取值范围为(，35，)4设对于任意实数x，不等式|x7|

11、x1|m恒成立(1)求m的取值范围；(2)当m取最大值时，解关于x的不等式|x3|2x2m12.解析(1)设f(x)|x7|x1|，则有f(x)当x8；当7x1时，f(x)8；当x1时，f(x)8.综上，f(x)有最小值8，所以m8，故m的取值范围为(，8(2)当m取最大值时，m8.原不等式等价于|x3|2x4.等价于或等价于x3或x0，n0)，求证：m2n4.解析(1)当a2时，不等式为|x2|x1|4.因为方程|x2|x1|4的解为x1，x2，所以原不等式的解集为.(2)证明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，所以解得a1，所以1(m0，n0)所以m2n(m2n)24，当且仅当m2n时，等号成立6设f(x)2|x|x3|.(1)画出函数yf