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1、第五节、克莱姆法则,重要概念 克莱姆法则 例子,设 元线性方程组,非齐次与齐次线性方程组的概念,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,齐次线性方程组.,此时称方程组为,是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,注: 克莱姆法则的证明主要利用了代数余子式的性质.,一、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零.,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,(2),课件,9,证明：先征明（2）式（1）的解，只需要验证(2) 满足（1）中的每一个方程，即,去分母

2、,课件,10,将 代入上式左端得,课件,11,再证明唯一性，设 为（1）的任意解。 只需证明,课件,12,因为 是（1）的解，故,课件,13,有行列式的性质4和7,课件,14,所以,同理,所以（1）的解是唯一的.,二、重要定理,定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,有非零解.,系数行列式,例1 用克拉默则解方程组,解,例2 用克拉默法则解方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克莱姆法则

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