1.4二次函数与一元二次方程的联系

1、1.4 二次函数和一元二次方程的联系,义务教育教科书（湘教）九年级数学下册,第一章 二次函数,逆江坪中学 满健伟,学习目标,1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根. 4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.,1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、二次函数的一般形式是什么？,知识回顾,画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？,如图，二次函数y=

2、x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1,0），（3,0）.由交点可知，当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根. 同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.,一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1,0）（x2,0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1，x=x2 . 反之，亦成立.,不画图象，你能说出函数 的图象与 x 轴的交点坐标吗？,解：当y=0时，,所以,函数 的图象与 x 轴的交点坐标为（-3

3、，0）和（2，0）.,解得：,练习,观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.,y=x2-6x+9,y=x2-2x+2,二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是（3,0），而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根：x1=3，x2=3.,二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.,一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c

4、=0的根有三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根、没有实根.,反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,1.求下列抛物线与x轴的交点的坐标：,解：它与x轴有交点，则y=0. x2-x-2=0， 变形为： (x2)(x+1)= 0 x1=2, x2=1 与x轴交点的坐标为（2,0），（1,0）.,解：它与x轴

5、有交点，则y=0. 9x2+12x+4=0， 即：(3x+2)2=0 解得 . 与x轴交点的坐标为（ ，0）.,解：x2-2x+3=0， a=1，b=2，c=3， =（-2）2-4130. 此方程无解，所以，抛物线y=x2-2x+3与x轴没有交点.,【例1】求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）.,分析 一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图像法.,解：设二次函数y=x2-2x-1. 作出二次函数y=x2-2x-1的图象，如右图

6、所示： 可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个在2和3之间. 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1-0.4，x22.4 .,我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根，将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应y的值列表如下：,可以发现，当x=-0.5时，y=0.250；而当x=-0.4时，y=-0.040.结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5x-0.4 .题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.5或x=-0.4作为所求的根均满足要求.但取x=-0

7、.4，y值更接近0，故此选x=-0.4 .,1. 用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的根的 近似值（精确到0.1）.,答：x1-1.6， x20.6.,练习,【例2】如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离 地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？,O,（1）由抛物线的表达式得：,即 x2-6x+5=0，,解得 x1=1 ， x2=5.,当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.,解：,（2）由抛物线的表达式得：,即 x2-6x+9=0,解得 x1=x2=3.,当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.,（3）由抛物线的表达式得：,即 x2-6x+14=0,因为=（-6）2+41140,所以方程无实数根.,所以铅球离地面高度不能达到3m.,从例2可以看出，已知二次函数 y=ax2+bx+c的某一个函数值y=M，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数与一元二次方程就紧密地联系