5 三重积分(柱,球坐标).ppt

1、第三节,二、三重积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三重积分,2. 利用柱坐标计算三重积分,3. 利用球坐标计算三重积分,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M(r, z),z,r,N,x,y,z,(x, y, z),(r, , z),柱面坐标,z = z,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,z,动点M(r, , z),柱面S,r =常数：,平面,z =常数：,M,r,S,z,柱面坐标的坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,动点M(r, , z),半平

2、面P,柱面S, =常数:,r =常数：,平面,z =常数：,z,M,r,S,P,柱面坐标的坐标面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,dr,r,rd,d,z,元素区域由六个坐标面围成：,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；,柱面坐标下的体积元素,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱面坐标下的体积元素,dr,r,rd,d,z,底面积 ：r drd,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面； 平面 z及 z+dz；,dz,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,dr,r,rd,d,z,底面积 ：r drd,半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱

3、面； 平面 z及 z+dz；,dz,dV =,.,柱面坐标下的体积元素,.,dV,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱坐标计算适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,仍然是“先一后二”化为三次积分。,二重积分用极坐标时方程和计算简单，,3) 柱坐标: 当积分域为标准的圆柱面时用柱面坐标化为累次积分的积分限都是常数。,1,.,Dxy:,z = 0,用哪种坐标？,.,柱面坐标,Dxy,例1. 计算,I =,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱坐标下三重积分举例,例2,1,Dxy,.,Dxy:

4、,z = 1,锥面化为:,r = z,1,.,用哪种坐标？,柱面坐标,例3.,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中为由,例4. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 利用球坐标计算三重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,M (r, , ),r,N,y,x,z,.,.,.,球面坐标,

5、3. 利用球坐标计算三重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,S,r,M,r =常数:, =常数:,球面S,动点M(r,),球面坐标的坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面坐标的坐标面,C,r =常数:, =常数:,S,球面S,半平面P,动点M(r,),M,P, =常数:,锥面C,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面+d,球面r+d r,元素区域由六个坐标面围成：,d,rsind,球面坐标下的体积元素,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r,dr,d,x,z,y,

6、0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d,r 2,sin drdd,sin drdd,r 2,rcos ),dV,dV =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,r,R,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,例1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,M,r,R,对: 从0 积分，,.,例1.,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,R,对 : 从0 积分， 扫遍球体,.,例1.,得锥面,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,对: 从0 积分，,

7、机动 目录 上页 下页 返回 结束,R,.,I=V,当 f =1,.,例1.,对r: 从0R积分,得半径,任取球体内一点,得锥面,对: 从0 积分，,对 : 从0 积分，扫遍球体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球系下确定积分限练习,1 为全球体,2 为空心球体,3 为上半球体,4 为右半球体,为球体的 第一、二卦限部分,.,.,.,.,.,.,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,化为球系下的方程,r=2a cos,.,M,.,r,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、,例5,例5,例6.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积

9、分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4),第四节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“