2010(1)复变试题(A4)

1、20092010学年复变函数第二学期末考试试题卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 题号12345678910答案1设z=0为函数的m级极点，则m=（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 22设则=( )A 0 B. 1 C. i D.不存在3下列级数中，条件收敛的级数为（ ）A. B. C. D. 4下列命题中，正确的是（ ）A.设在区域D内均为的共轭调和函数，则必有.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若在区域D内解析，则为D内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数.5下列数中，为实数的是（ ）A. B. C. D. 6当时，的值等于（ ）A.

2、 B. - C. 1 D. -17使得成立的复数z是（ ）A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数.8设z为复数，则方程的解（ ）A. B. C. D.9.函数在点可导是在点解析的（ ）条件A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要10.若幂级数在处收敛，则该级数在处的敛散性为（ ）.A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.不能确定二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11._.12.不等式表示的区域为_.13.=_.14.幂级数的收敛半径为 .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则=_ _.16.z=0是函数z-s

3、inz的_阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）正确的打“”，错的打“”.题号171819202122答案17函数sin z在区域内为有界函数. 18.若与都在区域D内解析，则在D内必为常数.19. 对于任意自然数n1,方程的n个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数在点可微等价于在点解析.22 是函数的孤立奇点.四、计算题(每小题6分，共18分)23（6分）设C为从原点沿至的弧段，求.24（6分）求函数在有限奇点处的留数25（6分）求，其中C：的正向.五、解下列各题（每小题8分，共32分）26（8分）将函数在区域内展开为罗朗级数 27（8分）

4、计算积分，从而证明.28（8分）利用留数计算积分 29（8分）证明为调和函数，并求解析函数使得 一、单项选择题题号12345678910答案CCCCBBDBAA二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11.12.不等式表示的区域为.(注：区域的表示形式也可为图形或文字描述，正确即可.)13.=.14.幂级数的收敛半径为.15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则=_1_.16.z=0是函数z-sinz的_3_阶零点.三、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）正确的在打“”，错的打“”.题号171819202122答案四、计算题(每小题6分，

5、共18分)23（6分）设C为从原点沿至的弧段，求.解：曲线的参数方程为，所以 . 6分24（6分）求函数在有限奇点处的留数解：设函数，则的所有有限孤立奇点有:，且它们都是一阶极点，所以，. 6分25（6分）求，其中C：的正向.解：设，则在所围的区域内只有唯一的奇点，且在及其内部是解析的，所以由柯西积分公式有：= 6分五、解下列各题（每小题7分，共28分）26（7分）将函数在区域内展开为罗朗级数 解：在区域内，于是所以 5分从而，. 7分(注：级数表达形式不惟一，正确即可.)27（7分）计算积分，从而证明 .解及证：因为在圆盘内解析，故由柯西积分定理可得：. 3分而，的参数方程为所以 所以，而所以 7分28（7分）利用留数计算积分 解：在内部的孤立奇点有：,其中为三阶极点，,为一阶极点.由留数定理 4分又而，所以=0 7分29（7分）证明为调和函