1.1.2导数的概念

1、11导数的概念及几何意义,文宫中学： 谢鸿华,瞬时速度：物体在某一时刻的速度。,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,求2时的瞬时速度？,新课学习,思考： t在2,2.1内的平均速度是多少？ t在2,2.01内的平均速度是多少？ t在2,2.001内的平均速度是多少？ t在2,2.0001内的平均速度是多少？ t在2,2.00001内的平均速度是多少？,t0时，从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,t0时，从(2+t)s到2s这段时间内平均速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t =

2、0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1。,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1m/s。,跳水运动员在t0到t0+t时刻内的平均速度：,跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：,函

3、数f(x)从 到 的平均变化率,函数f(x)在 处的瞬时变化率为,导数的定义,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,求导数的步骤：,(1)求平均变化率,(2)取极限得导数,牛顿,莱布尼茨,导数的几何意义,如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),Q为P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+x,y0

4、+y),P,Q,割线,切线,T,当点Q沿着曲线逐渐向点P接近,x0,割线PQ有一个极限位置PT. 我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率,函数f(x)在点x0处的导数,所以函数y=f(x)在点x0处存在导数时，导数的几何意义为：函数在该点处切线的斜率。即,练一练,1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。,2、,1、求函数f(x)=x2在x=3处的导数。 解：,2、 解：,由导数的几何意义知，所求的切线的斜率为-1，且切线经过点（1,1）。由点斜式得，f(x)在x=1处切线的方程为 y=-x+1,小结,导数概念的形成过程,平均速度,平均变化率,瞬时变化率,瞬时速度,导数,由平均变化率过渡到瞬时变化率的三种方式,解析式抽象,几何直观感受,数值逼近,马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这