第六章 弯曲应力

1、Page,1,6-2 弯曲正应力,第六章 弯 曲 应 力,6-1 引言,6-3 弯曲切应力,6-4 梁的强度条件,6-5 梁的合理强度设计,6-6 弯拉(压)组合与截面核心,Page,2,6-1 引言,弯曲内力 ( M, Fs ),问题：梁横截面上的内力是如何分布的？,Page,3,对称弯曲 具有一个纵向对称面的梁受到作用于其纵向对称面内的载荷而产生的弯曲变形,Page,4,纯弯曲梁的受力特点: 任一横截面上的弯矩恒定, 剪力为零,本章要解决的核心问题: 对称弯曲梁横截面上的弯曲应力的分布与计算,常用的纯弯曲加载方法,Page,5,上式中A 为截面面积,仍然属于连续体的静不定问题！,6-2 对

2、称弯曲正应力,已知条件,Page,6,一、实验观测与假设（动画）,纵向线：成圆弧线,上方纵向线缩短下方纵向线伸长;,横向线：保持直线，与纵向线正交 上方横线伸长,下方缩短;,顶与底部纵、横线伸缩变形比： 符合单向受力泊松效应,1. 外部变形观测,Page,7,2. 内部变形假设,平面假设：变形后横截面保持平面，且仍与纵线正交,Page,8,3. 重要推论,变形过程中横截面间绕中性轴相对转动,Page,9,1. 几何方面,考察线段ab的变形：,变形前：,变形后：,二、弯曲正应力一般公式,连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究,Page,10,2. 物理方面,由胡克定律和单向受力

3、假设：,y 坐标原点位于中性轴，r 中性层的曲率半径,3. 静力学方面,定义,Page,11,三、最大弯曲正应力,定义,（抗弯截面系数）,正应力沿截面如何分布？,Page,12,小结,根据实验结果，引出纯弯曲梁变形的平面假设和单向受力假设,正应力公式：,由上述两个假设出发，从几何、物理和静力学三个方面对弯曲正应力进行分析,，对称弯曲, 纯弯与非纯弯（横力弯曲）,应用条件：,该公式的推导和应用要基于特定的坐标系（中性轴为 z 轴，纵向对称轴为 y 轴，且向下为正）,Page,13,A-1 静矩与形心,一、 静矩,积分,分别称为截面对坐标轴x和y的静矩,二. 形心,如果截面对某轴的静矩为零，则该轴

4、为形心轴。 形心轴：通过截面形心的坐标轴。,Page,14,三、 组合截面的静矩与形心,Page,15,A-2 极惯性矩 惯性矩,二、 截面对z轴或y轴的惯性矩,四、 一个恒等式,Page,16,A-3 惯性矩的平行移轴定理,一、 惯性矩的平行移轴定理,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,同理:,Page,17,思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。,解：不正确。 因为 Z1 不是形心轴,Page,18,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,Page,19,例 1 已知：钢带厚d=2mm, 宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算：带内的 smax 与

5、M,解：1. 问题分析, 应力变形 关系：, 内力变形或内力应力关系：,已知r=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力,或,Page,20,2. 应力计算,3. 弯矩计算,或,Page,21,求截面 B-B 上的最大拉/压应力,例2,特点: 非等截面、非恒定弯矩、横截面上存在剪力（横力弯曲）,步骤1: 求解 B-B 截面上的弯曲内力: 弯矩: MB = F L = 6000 Nm 剪力: FS = 15 kN,Page,22,步骤2: 建立临时坐标系, 确定截面B-B的形心和中性轴 z 的位置 (Yc),m,步骤4: 依据公式, 计算最大拉/压应力,Page,23,例:

6、l=1m,b=30m,t=5mm, = - 0.001, = 0.0005, E=200GPa, 求,1、梁内的绝对值最大正应力； 2、梁底部纵向总伸长量； 3、高度h的大小； 4、载荷q之值。,Page,24,解：1、计算梁内绝对 值最大正应力,（1）画梁的剪力弯矩图,（2）由梁的弯曲公式,知正应力、正应变与弯矩成正比,其最大值发生在H截面。,Page,25,（3）绝对值最大正应变,Page,26,2、计算底部纵向总伸长,（1）弯矩方程,（2）底部应变,由于 e 与M成正比，可设,分析：由 需求应变方程，从应变与弯矩成正比，可先求弯矩方程。,Page,27,（4）底部纵向总伸长量,（3）底部

7、纵向应变方程,Page,28,3、计算高度h,由 知形心C与顶和底面的距离与顶和底面的应变成正比,由截面对形心轴的静矩为零,代入：b=30mm,t=5mm,Page,29,4、计算载荷q,Page,30,作业 6-1 6-3 6-8 A-9c,Page,31,6-3 对称弯曲切应力,假设:,t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布,思考: 能否假设 t (y) 沿截面高度均匀分布?,一、横力弯曲矩形截面梁(hb)的弯曲切应力,横力弯曲：截面上既有剪力又有弯矩的对称弯曲。,Page,32,由图示微体平衡：,Sz(w)面积 w 对中性轴 z 的静矩,l,l,l,Page,33,l,截面静矩与

8、惯性矩,l,最大切应力发生在中性轴,l,Page,34,截面翘曲与非纯弯推广,平截面假设不再严格成立矛盾解法,切应力利用纯弯正应力公式推导,纯弯正应力公式依据平截面假设,切应力非均匀分布引起截面翘曲,但当l h时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确仍然相当精确,Page,35,当 l h 时，smax tmax,横截面上各点假设：t/侧边，或t/剪力 t 沿截面宽度方向均匀分布, h/b值对解的影响：,F h/b越大，解越精确。(h/b2时，足够精确),弯曲正应力与弯曲切 应力比较,Page,36,二、对称薄壁梁的弯曲切应力,(1). 切应力 方向与分布假定,(2)、计算 的大小,沿截面中

9、心线,1. 问题分析,沿截面厚度均匀,依据：切应力互等定理,同样依据切应力互等定理，将横向截面上的切应力计算转化为纵向截面上的切应力计算。,Page,37,2. 的计算,Page,38,利用剪流概念，可以形象地确定切应力方向,3、剪流,截面中心线单位长度上的剪力,Page,39,问题：定性分析下述截面在B点的切应力，画截面剪流的方向,Page,40,例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向,注意A处剪流的方向。,Page,41,工字梁的弯曲切应力,(1). 切应力 方向与分布假定,(2) 计算 的方法,问题分析,大小：沿截面厚度均匀分布,依据：切应力互等定理,总的原则：依据切应力互等定理，将横向截

10、面上的切应力计算转化为纵向截面上的切应力计算。,Page,42,4,腹板的切应力分析：,按矩形截面梁公式计算，翼缘参与静矩计算。,Page,43,翼缘的切应力分析：,Page,44,Page,45,解：,Page,46,例,求截面 B-B 上的最大弯曲切应力以及D点的切应力,解：最大弯曲切应力发生在中性轴上,确定中性轴的位置，同前，略,Page,47,D点切应力的求解,Page,48,一、梁危险点处的应力状态,Q 矩形截面梁:,危险点：a, c 点处: 单向应力； b 点处: 纯剪切,6-4 梁的强度条件,Page,49,Q薄壁截面梁:,c , d 点处: 单向应力,a 点处: 纯剪切,b 点

11、处: s ,t 联合作用,危险点：,Page,50,二、梁的强度条件,弯曲正应力强度条件：,弯曲切应力强度条件：,s ,t 联合作用强度条件（详见第9章强度理论）,smax：最大弯曲正应力 s ：材料单向应力许用应力,tmax ： 最大弯曲切应力 t ： 材料纯剪切许用应力,Page,51,三、梁强度条件的选用,F 细长非薄壁梁：,F 短粗梁、薄壁梁与 M 小 FS大的梁：,M 有时需考虑 s, t 联合作用的强度条件,梁强度问题的分析步骤：,1、内力分析确定危险截面,2、应力分析确定危险点,3、根据强度条件进行强度校核。,Page,52,例 4-1 简易吊车梁，F =20 kN，l = 6

12、m，s = 100 MPa ，t = 60 MPa，选择工字钢型号,Page,53,2. 按弯曲 条件选截面,查教材P367, 附录F 型钢表：选 22a, Wz=3.0910-4 m4,3. 校核梁的剪切强度,解：1. 内力分析,Page,54,讨论：危险截面是否一定是弯矩最大的截面？,Page,55,解：画弯矩图,可能危险截面分析：,C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应力，b点压应力可能达危险值。,B截面：正弯矩最大，b点拉应力可能达危险值。,Page,56,截面形心：,C截面：,B截面：, 强度足够,Page,57,例:(a)所示悬臂梁，由两块尺寸相同的木板胶结而成，l =500 mm，b

13、=50 mm，h =80 mm， =10MPa， =1/3MPa。 试求F (b)若此梁由三块木板胶结而成，b=50mm，中间一块高=50mm，上下两块相同，高均为15mm，许用载荷又为多少？,Page,58,解：（a）梁内最大弯矩值 最大剪力 梁内最大正应力 在中性层，最易发生剪切破坏处也在中性层胶合处,综上F=0.8889 KN,Page,59,解：（b）由正应力控制的许用载荷同前 此时梁截面最易发生剪切破坏处在离中性层25mm胶合处,此处,F =Min1.459,1.067=1.067KN,Page,60,例：已知 ，校核图示悬臂梁的强度。 （1）矩形截面 （2）圆形截面,思考：对于矩形与圆形截面，分析有何不同？,Page,61,例：已知 ，校核图示悬臂梁的强度。 解：（1）矩形截面 危截面为A,危险点分析： 在H点，两外力引起的最大正力叠加，在H点，两外力引起的绝对值最大的负应力叠加，故为危险点。,Page,62,例：已知 ,校核图示悬臂梁的强度。 解：（2）圆形截面 危截面为A,正确解答：,思考：下述解答是否正确？,Page,63,6-5 梁的合理强度设计,让材料远离中性轴!,一、梁的合理截面形状,依据,Page,64,脆性材料梁,截面上下不对称的脆性材料