8.动力学普遍定理2

1、1,动力学,3.有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动，开普勒定理：mv1r1= mv2r2 =常量,8-3动量矩和转动惯量,有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？,1.刚体绕过质心的轴转动时 ，可见动量不能表征或度量这种运动。,2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。,2,动力学,一动量矩（质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）,1质点的动量矩,仿照力矩的定义：,质点对点O的动量矩：,矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。,大小：hO=2OAM。单位： kg2/

2、s=Nms,对固定点O：,质点对轴 z 的动量矩：对固定轴z,3,代数量，由右手螺旋法则确定正负。,动力学,同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：,2质点系的动量矩,质系对点O动量矩：,质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该点的动量矩：,质系对轴z 动量矩：,质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩：,4,动力学,并且有：,注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。,（b）是否有,否！,（c）如果刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同。,5,动力学,即：定轴转动刚体

3、对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,3定轴转动刚体对转轴的动量矩,对于任一点Mi，由于 z轴，且vi=ri，,则整个刚体对z轴的动量矩：,式中 称为刚体对z轴的转动惯量，恒为正。,6,(一)转动惯量的概念,动力学,二转动惯量,1.定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。,转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关； 恒为正标量； 单位：kgm2,2.物理意义：刚体转动时惯性的度量。,对于质量是连续分布的刚体，则,7,动力学,3. 回转半径,由 所定义的长度z 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径。,若已知z ，

4、则刚体的转动惯量为：,注意： z 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。,z为长度量纲。,8,动力学,类似：刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积的总和，称为刚体对该点的转动惯量。,(二)计算转动惯量的一般公式,取直角坐标系Oxyz，设刚体上任一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则由定义：,9,动力学,即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。,对于平面薄板：zi=0，,即：平面薄板对点的转动惯量等于板

5、对通过该点并在薄板内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。,10,对简单形状的均质刚体，用积分法 例8 匀质细直杆长为l ,质量为m 。求：对z轴的转动惯量 。,动力学,（三）转动惯量的计算,解：,2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和组合法。,3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量：扭摆法、复摆法。,11,三. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,动力学,任一轴：z/z,质心轴,两轴距离,12,证明：设质量

6、为M的刚体，质心为C，,动力学,例如，对于例8中均质细杆z 轴的转动惯量为,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。,13,动力学,解：,例9图示复摆，已知均质细杆：m，L；有孔圆盘：M，R，r，求摆对过O点且垂直于图面的轴的转动惯量。,14,动力学,其中，盘的质量：,孔的质量：,15,8-4动量矩定理,一质点的动量矩定理,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,动力学,故：,16,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数

7、，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,动力学,质点的动量矩守恒。,17,动力学,例如：,（1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称为有心力，此点称为力心），力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：,如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。,（2）小球绕固定轴转动,r，v；r，v。,18,运动分析： 。,动力学,由动量矩定理 即,微幅摆动时，并令，则,代入初始条件 则运动方程,解：将小球视为质点。 受力图如图示。,*例10 单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止开始释放。 求单摆的运动规律。,解微分方程，得,（怎样确定 的方向？）,19,注意：计算动量矩与力矩时，符号规定

8、应一致（本题规定逆时针转向为正） 质点动量矩定理的应用： (1)在质点受有心力的作用时。 (2)质点绕某点（轴）转动的问题。,动力学,，摆动周期,20,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。,二质点系的动量矩定理,左边交换求和与导数运算的顺序，,一质点系的动量矩定理,动力学,对质点系，有,对质点Mi ：,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,21,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,动力学,定理说明内

9、力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。,质点系的动量矩守恒 （1）当 时，常矢量。 （2）当 时，常量。,讨论（a）对定轴转动刚体，若 ，则 常量，即w=常量，匀速转动。,22,例如：芭蕾午演员、花样滑冰运动员，他们用伸展或收拢四肢的方法来改变旋转的速度。 又例如直升飞机为什么要在尾部装竖直螺旋桨？,动力学,例：两均质杆：长l=300mm，m1=2kg，铰接于转盘上；转盘：r=40mm，m2=4kg，对z轴的回转半径=30mm。开始时杆由绳连接，0=6rad/s。求由于绳断，两杆倒至水平位置时系统的。,23,动力学,解： ，HZ= 常量

10、，或HZ 1= HZ 2，即： JZ 10= JZ 2（*）,代入（*）式得=2.157rad/s,24,解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： vA=vB =,动力学,由动量矩定理：,例11 均质轮（可视为均质圆盘）半径r、重P，重物A、B分别重PA、PB，且PA PB，求轮的。,25,解： 系统的动量矩守恒。,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的, 均为 。,动力学,*例12 已知猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度 上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？ 动的速度多大？（轮重不计）,26,对于定轴转动刚体 代入质点系动量矩定理：,刚体定轴转动微分方程,解决两类问

11、题： （1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。,动力学,三刚体定轴转动微分方程,27,特殊情况： （1） 若,则 恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。 （2）若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。,动力学,28,例13 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求 物体C上升的加速度。,取轮B连同物体C为研究对

12、象,动力学,解: （1）取轮A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：,29,由动量矩定理：,补充运动学条件,化简(1) 得：,化简(2) 得：,动力学,30,例14 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。,解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。,动力学,由刚体定轴转动微分方程,31,根据质心运动微分方程，得,动力学,32,8-5质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程,一质点系相对于质心的动量矩定理,动力学,前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝

13、对的。下面将证明：当质点系作一般运动时，以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。,设质点系总质量为M，质心速度为vC。,任取一固定点O，将平动坐标系Cxyz铰接在质心C上。则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。,33,动力学,研究任一质点Mi：,Mi的位置：,Mi的绝对速度：,式中：,1.质点系对固定点O的动量矩,34,动力学,质心相对于动坐标系原点的矢径,质心相对于动坐标系原点的速度,动坐标系原点为质心C,又,质点系相对于质心的动量矩,质点系对任一固定点的动量矩,即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩

14、的矢量和。,35,动力学,对固定轴，有：,z过质心且平行于z轴的轴,即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。,由此的刚体动量矩计算：,（1）平动：,仿照力矩的计算：,（2）定轴转动：,（3）平面运动：,36,动力学,例如：求半径R重W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。,取过O且垂直于图面的轴z轴，则,37,动力学,2.质点系相对质心的动量矩定理,于是，由（*） 或,38,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。,动力学,即：质点系对质心的动量矩对时

15、间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。这就是质点系相对质心的动量矩定理。,质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。,将上式向过质心且随同质心作平动的坐标系的各轴投影：,39,二刚体平面运动微分方程 设有一刚体在外力系 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形S的运动来研究：刚体质心C位于平面图形S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动(xC , yC)和绕质心的转动（） 。,动力学,由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：,40,写成投影形式,或,上式称为刚体平面

16、运动微分方程。,动力学,41,例15 质量为m半径为R的均质圆轮放于倾角为 的斜面上，由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、 f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。,动力学,解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 轮作平面运动，根据刚体平面运动微分方程，有, ,三个方程中含有四个未知数，需补充附加条件。,42,1设接触面绝对光滑。 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。,2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，ac=e R，所以可解得,动力学,3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑，F=fN，可解得,轮作纯滚动的条件：,表明：当

17、时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0 时解答1适用。,43,动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）,动力学,1已知质点系的运动，求系统所受的外力或外力矩。 2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。 3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。,44,例16重W长l的均质细杆AB，放在铅直平面内，两端分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和A、B处的约束力。设t=0时，0=0。,动力学,解（1）以AB杆（平面运动）为研究对象。 （2）受力

18、如图。,x,y, , , ,（3）选轴建立平面运动微分方程：,45,动力学,三个方程五个未知量，故须建立补充方程：,x,y, , ,（4）解方程,由式得：, , ,46,动力学,将代入得：, ,（逆时针）,将代入，得：, , ,47,动力学,（取正，逆时针）,由得：,讨论（1） ，NA。所以当大到一定程度时，A端会脱离墙。,48,动力学,由式,x,y,I,表明：平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。,49,*例17 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,解：选取圆柱为研