数学模型及题根.ppt

1、1,数学模型探究,对一道考题寻根,万老师数学,2,不管你自觉还是不自觉，数学解题总是按“模型”进行的.,数学模型,什么是数学模型呢？,数学模型与数学知识的“模块”是什么关系？,数学模型与数学解题的“模式”是什么关系？,数学模型与数学出题的“题根”是什么关系？,在数学学习与数学应试中，自觉地应用数学模型与不自觉地遭遇数学模型，其效果有什么不同？,数学模型，可以从数学模块说起.,3,考题为例,【原题】 已知圆 x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x -5y + c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 .,三 角 和角式 三角平方式 振辐范围 值域判别式,向 量 数量积 单位向量 长度范围 模不

2、等式,【等价】直线12x -5y + c=0与x2+y2=1相割. 这是从解析几何模型角度看问题，如果换个模型，则是另外的意义.,平 几 极 线 单位圆 极 点 极点判别式,数学模型,4,数学解题，总是从“数学模块” 的认定开始.,数学解题 先认模块,比如，面对如下的数学问题，首先得想：属哪个模块？,【定位】 这是一个直线与圆的位置关系问题.,【考题】若直线 与圆 有公共点，则( ) A B C D,【模块】 须知，直线与圆是高中数学的一个知识模块.,数学模型,5,【操作】模块只是一种“认知”，而解题却是“操作”. 从“直线与圆有公共点”到“圆心到直线距离 不大于圆的半径” 都没有进入操作.,

3、先定模块 后定模式,【模式】操作按模式执行！本题的操作模式是“点线距离公式”.,数学模型,【考题】若直线 与圆 有公共点，则( ) A B C D,6,入模求解 出模作答,【入模】设圆心（0，0）到直线 距离为d， 又圆半径 r =1 ，那么,数学模型,7,依据模块 选择模式,【认知】模块提供解题依据，模式提供解题工具.,【点评】入模时还有“材料” x和y，出模只有“成品”a和b！,【回顾】设圆心到直线的距离为d，又圆的半径 r =1 ，那么,数学模型,8,模块先变 模式后变,【变块】两方程联立，模块变到“代数方程组”，消 y 得,【点评】模块离开了 “直线与圆”，模式将离开“点线距离公式”！

4、,一元二次方程 （a2+b2）x2 2ab2x + a2b2 - a2 = 0 （1）,【变式】令方程（1）的判别式不小于0，则进入模式：,（ 2ab2）2 （a2+b2）（ a2b2 - a2 ）0,数学模型,9,不等式模块 放缩模式,【变模】模块变作“不等式”，模式变作“放缩法”：,【入模】,【解模】,数学模型,10,向量模块 数量积模式,【变模】模块变作“向量”，模式变作“数量积”：,【入模】设向量（ ）和（x，y），其夹角为，则有,【解模】 利用cos1 和 | (x，y) | =1，得,数学模型,11,平几模块 极线模式,【模式】 设直线 为圆 x2+y2=1的极线 x0 x+y0y

5、=1 ，则,数学模型,对应的极点为,【入模】极线与 圆有公共点，则极点M 不在圆内 ，故有,【解模】 | OM | 1，得,12,模块交叉 问题综合,【改题】将圆 的方程 x2+ y2 = 1 参数化：设 x = cos ,y = sin,条件改成：直线 过动点 M（ cos ， sin ） .,【交叉】原题是“单模块”的板块题，改题是“多模块”的综合题.,【说明】原题正是08年全国卷文科第10题，改题正是08年理科 第10题，在文、理同根的姐妹题中，理题比文题多个“交叉”！,数学模型,13,模块交叉 模式选择,【模式】模块交叉的综合题，解题模式要 “归到模块”！如本题.,【法一】归到模块“直

6、线与圆”，操作“点线距离公式”： 点M（ cos ， sin ）的轨迹是单位圆 x2 + y 2 = 1.,【法二】归到模块“向量”，操作“数量积公式”；,【法三】归到模块“三角函数”，操作“和差角公式” .,数学模型,14,三角模块 和差模式,【模式】 点M（ cos ， sin ）在 直线 上，则,由 sin (+) = 1 ，得,【比较】 各个模式，形异神同；根基何在，等待打通！,数学模型,15,线性隐身 模型难寻,数学模型,【改题】将直线方程 隐身，条件改成：若直线 过点A（a,0），B（0,b）和点 M（ cos ， sin ）， 其中a0，b0，则（ ）,【挖掘】直线方程由“截距式

7、”显身，动点 M（ cos ，sin ） 化为“单位圆”显形， 由直线与圆的位置关系使 问题得到解决.,16,等式模块 不等模式,轨 迹 直 线 单位圆 有公共点 距离不等式,三 角 和角式 三角平方式 振辐范围 值域判别式,向 量 数量积 单位向量 长度范围 模不等式,不等式 两数的和 平方和 平均不等式 平均不等式,方 程 一次方程 二次方程 有公共解 方程判别式,函 数 一次式 二次式 函数最值 值域不等式,知识模块 x2+ y2 = 1 判别式模式,平 几 极 线 单位圆 极 点 极点判别式,数学模型,17,模型化简 等式倾斜,【原型】 若 ， x2+ y2 = 1. 则,【简型】 若

8、a x+ b y = 1 ， x2 + y2 = 1. 则 a2 + b2 1.,【命题】若 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，则 a x+ b y 1.,【证法】上述模式都可操作，以下是“向量模不等式”的操作：,【模式】 a x + b y =( a，b) (x， y ) = |( a，b)|(x ，y)| cos 1.,【命名】模型“若 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，则 a x+ b y 1 ”，,命名为“等式倾斜模型”：先等式，后倾斜！,数学模型,18,模拟出题 课本寻根,【考题】 若 ， x2+ y2 = 1. 则,【简题】 若a x+ b y =

9、1 ， x2 + y2 = 1. 则 a2 + b2 1.,【根题】已知 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，求证 a x+ b y 1.,【思考】教材上的这道例题本属于不等式证明的“纯代数问题”.,【原则】高考试题的设计，要考虑不同知识模块的“交叉”， 课本上的“根题”要经过“迁移”才能编出考题.,最后是怎样演变成直线与圆的“几何问题”的呢？,【操作】高考出题，就是从课本 “根题” 迁移到考题的操作.,数学模型,19,根题迁移 模型还在,【考题】 若 ， x2+ y2 = 1. 则,【根题】已知 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，求证 a x+ b y 1.,【

10、操作】移置已知中的等式，得到单位圆方程 x2+ y2 =1.,变求证中的不等式，得到直线的方程 ax+ by =1.,【迁移】从“不等式的证明” 迁移到“直线与圆的位置关系”.,变已知条件中的等式a2+ b2 = 1， 得待求的：,【点评】 根题在代数里，考题在几何中，“等式倾斜模型”不变！,直线与圆有公共点的条件是 a2+ b2 1.,数学模型,20,模式可变 模型不变,【根题】已知 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，求证 a x+ b y 1 .,【说明】以上是原解模式，以下为变模操作.,【变模】 a x+ b y =sincos+cossin=sin(+) 1.,【说明】

11、模块变到“三角函数”，模式变到“和差角公式” .,【点评】模块和模式可变，而“等式倾斜模型”不变！,显然，在函数、方程、轨迹、向量等模块中，都有对应的模式.,【模式】a x+ b y （ a2 + x2 + b2 + y2） = 1.,数学模型,21,单位可变 模型不变,【根题】已知 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，求证 a x+ b y 1.,【放缩】已知 a2 + b2 =2，且 x2 + y2 = r2，求证 a x+ b y r .,【单位】根题中的常数，全部是单位1. 若变更单位，模型如何？,【模式】 a x + b y =( a，b) (x， y ) = |( a

12、，b)|(x ，y)| cos,= r cos r .,【结论】 单位虽变，而“等式倾斜模型”未变，其模型依然是：,先等式： a x + b y =( a，b) (x， y ) = |( a，b)|(x ，y)| cos.,后倾斜 ：上式 = r cos r .,数学模型,22,维数可变 模型不变,【根题】已知 a2 + b2 =1，且 x2 + y2 = 1，求证 a x+ b y 1.,【变题】已知 a2 + b2 + c2 =1，且 x2 + y2 + z2 = 1， 求证 a x+ b y + cz 1 .,【模型】 模块由二维变成三维，模型还是“等式倾斜” .,【点评】模型有模拟性！

13、如本例：从低维模拟高维.,数学模型,【入模】 a x+ b y + cz （ a2 + x2 + b2 + y2 + c2 + z2 ）,23,平面模型 模拟空间,【入模】设向量（ ）和（x, y, z），其夹角为，则有,【点评】模块尚未进入“空间”，模型提前进入！,数学模型,24,模型是对模块和模式的升华,【模块】模块是知识的归类. 有归类未必能够沟通.,【模式】模式是解题的方式. 有方式未必能够变通.,【模拟】模拟是知识和方式从静态向动态的运行.,数学模型,【模型】模型在知识和方式的交汇处产生， 并在知识和方式的上升中显示超越.,【超越】超越的标志是：能把知识和方式从“有限的已知” 引向“无限的未知” .,2