《2.3.2双曲线的简单几何性质（1）》课件2.ppt

1、2.3.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质,1.双曲线的简单几何性质,F1(-c，0)，F2(c，0),F1(0，-c)，F2(0，c),|F1F2|=2c,x-a,xa,y-a,ya,坐标轴,原点,A1(-a，0)，A2(a，0),A1(0，-a)，A2(0，a),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,(1，+),2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为_.,x2-y2=a2,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)等轴双曲线的离心率为 ( ) (2)方程 (a0，b0)的渐近线方程为 ( ) (3)离心率e越大，双曲线 的渐近线的斜率绝对值越 大.(

2、),【解析】(1)正确.因为a=b，所以 所以 (2)错误.由 得 所以渐近线方程为 (3)正确由 (e1)，所以e越大，渐近线 斜率的绝对值越大. 答案：(1) (2) (3),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)双曲线 的渐近线方程为_， 离心率e=_. (2)双曲线x2-16y2=1的半实轴长为_，半虚轴长为_. (3)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为_.,【解析】(1)由 得 故渐近线方程为 由 所以a2=1，b2=3，所以c2=a2+b2=4，故a=1，c=2，所以 答案：,(2)由x2-16y2=1，得 所以a2=1，b2= 即a=1，b= 答案：1 (3)因为是

3、焦点在x轴上的等轴双曲线，所以方程设为 则2a2=4，所以a2=2，即双曲线方程为 答案：,【要点探究】 知识点 双曲线的简单几何性质 1.对双曲线渐近线的四点说明 (1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置.,(3)求渐近线的方程，常把双曲线方程右边的常数写成0，分解 因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx+ny=0，求双曲线 方程，常将双曲线方程设为 求解. (4)与双曲线 (a0，b0)共渐近线的双曲线系方程 可设为 (0，a0，b0).,2.离心率对双曲线开口大小的影响 以双曲线 (a0

4、，b0)为例. 故当 的值越大，渐近线 的 斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线 开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.,【知识拓展】共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原 双曲线的共轭双曲线. 与 互为共轭双曲 线，其性质如下： (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. (3)与 具有相同渐近线的双曲线系方程为 (k0),【微思考】 (1)双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？ 提示：不能，每条双曲线对应惟一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y

5、轴上.,(2)离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系？ 提示：不妨设双曲线的方程为 (a0，b0)，一条渐近线l方程: 其倾斜角为，过F2(c，0) 作F2Ml于M，则 所以OM=a，因此,【即时练】 求双曲线9x2-4y2=36的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程. 【解析】将已知的方程先化为标准式，即由9x2-4y2=36得 可知a=2，b=3，利用a，c，b的关系，得到 然后 得到实轴长2a=4、虚轴长2b=6、焦点坐标 离 心率 渐近线方程,【题型示范】 类型一 利用几何性质求双曲线的标准方程 【典例1】 (1)(2013广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 F(

6、3，0)，离心率等于 则C的方程是( ),(2)(2014长春高二检测)已知双曲线过点 它的渐 近线方程为 求双曲线的标准方程； 设F1和F2是该双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且 |PF1|PF2|=55，求F1PF2的余弦值.,【解题探究】1.题(1)由双曲线的离心率，能得到什么等量关 系？ 2.题(2)由渐近线方程求标准方程的一般思路是什么？ 由条件|PF1|PF2|=55可想到什么？ 【探究提示】1.已知离心率 的值，可根据 得出a的值， 进而得出b的值. 2.可分焦点在x轴上，y轴上分别设出方程，再由渐近线方程 建立a，b的关系求解，或利用共渐近线的双曲线方程求解. 一般考虑双曲

7、线的定义，|PF1|-|PF2|=2a.,【自主解答】(1)选B.设C的方程为 (a0，b0)，由 题意知 则a=2，b2=c2a2=5，所求方程为 (2)方法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为 (a0，b0)， 由题意得 解得a2=9，b2=16. 所以双曲线的方程为,当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为: (a0，b0)， 由题意得: 无解. 故双曲线的方程为,方法二：因为双曲线的渐近线方程为 设所求双曲线的方程为: 由于 在该双曲 线上，代入方程解得m=1，所以所求双曲线方程为: 由双曲线定义:|PF1|-|PF2|=6，在F1PF2中，由余弦定理 得: 所以,【方法技巧】巧设

8、双曲线方程的六种常用方法 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0，b0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 (a0，b0). (3)与双曲线 共焦点的方程可设为 (0，-b2a2).,(4)与双曲线 具有相同渐近线的方程可设为 (0). (5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=(0). (6)渐近线为axby=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2= (0).,【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0. (1)若双曲线过点 求双曲线的标准方程. (2)若双曲线的焦距是 求双曲线的标准方程. 【解题指南】可设出双曲线方程的统一形式 (0)，然后再根

9、据条件建立关于的方程求解.,【解析】双曲线的渐近线方程为 即 设双曲线的方程为 (0). (1)因为双曲线过点 所以 所以 故所求双曲线的标准方程为,(2)若0，则a2=9，b2=4，c2=a2+b2=13， 由题设 则=1. 故所求双曲线的标准方程为 若0，则a2=-4，b2=-9，c2=a2+b2=-13， 由题设 则=-1. 故所求双曲线的标准方程为,【补偿训练】已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条 渐近线方程为 求双曲线的标准方程. 【解题指南】根据渐近线设出双曲线方程的形式，根据题目条 件代入求解.,【解析】方法一：由于双曲线的一条渐近线方程为 则另一条为 可设双曲线方

10、程为x2-3y2=(0)， 即 由椭圆方程 可知 c2=a2-b2=64-16=48. 双曲线与椭圆共焦点，则 所以=36. 故所求双曲线方程为,方法二：双曲线与椭圆共焦点， 可设双曲线方程为 由渐近线方程 可得 所以=28. 故所求双曲线方程为,类型二 双曲线的离心率 【典例2】 (1)双曲线 (a0，b0)的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率为_. (2)(2013湖南高考)设F1，F2是双曲线C: (a0，b0) 的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最 小内角为30，则C的离心率为_.,【解题探究】1.题(1)由渐近线方程如何求离心率？ 2.题(2)

11、条件|PF1|+|PF2|=6a的作用是什么？ 【探究提示】1.利用渐近线方程可得a，b之间的关系，再由c2=a2+b2，可得a，c之间的关系，即求得e的值. 2.利用定义得|PF1|-|PF2|=2a，借助于条件|PF1|+|PF2|=6a，可求得|PF1|，|PF2|的值.,【自主解答】(1)由已知得 所以 故 即 所以 答案：,(2)不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a， 得|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，则在PF1F2中，PF1F2= 30，由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)22(4a)(2c)cos 3

12、0， 整理得 所以 答案:,【延伸探究】题(2)条件“若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小 内角为30”改为“若PF1PF2，且PF1F2=30”结果如何？ 【解析】在直角三角形PF1F2中，由题设可知:|F1F2|=2c，|PF2| =c，|PF1|= 又|PF1|-|PF2|=2a，所以 故 答案：,【方法技巧】求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法:若已知a，c可直接利用 求解，若已知a，b，可利 用 求解. (2)方程法:若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a， b，c之间的关系，可通过b2=c2-a2，将关系式转化为关于a，c的 齐次方程，借助于 转化为关于e

13、的n次方程求解.,【变式训练】(2014四川高考)双曲线 -y2=1的离心率 等于_. 【解析】 答案：,【补偿训练】已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点 分别为F1，F2，P是双曲线上一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|= 4ab，则双曲线的离心率是_. 【解析】因为PF1PF2， 所以由 得4c2-4a2=8ab，所以b=2a，c2=5a2，故 答案：,类型三 双曲线的渐近线及应用 【典例3】 (1)(2014双鸭山高二检测)若双曲线 的一条渐近 线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 (2)(2014长春高二检测)

14、若双曲线 的渐近线l方程 为 则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( ),【解题探究】1.题(1)由双曲线的标准方程如何得出渐近线方 程？ 2.题(2)中点到直线的距离公式是什么？ 【探究提示】1.可令标准方程中的1为0，然后因式分解即可得 出渐近线方程. 2.点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离,【自主解答】(1)选B.由双曲线 得渐近线方程为 不妨取渐近线 即 圆(x-2)2+y2 =4的圆心为(2，0)，半径r=2. 所以有: 解得a=1. 故实轴长为2.,(2)选D.由双曲线 得渐近线方程为 所以 即m=5， 所以双曲线方程为 因此c2=9+5=14， 不妨取焦点 渐近线方程l

15、: 即 所以F到l的距离,【方法技巧】求双曲线渐近线方程的两种方法,【变式训练】(2014邢台高二检测)以双曲线 的右 焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A.x2+y2-10 x+9=0 B.x2+y2-10 x+16=0 C.x2+y2+10 x+16=0 D.x2+y2+10 x+9=0,【解析】选A.由双曲线 得双曲线的一条渐近线为 即4x-3y=0， a2=9，b2=16，所以c2=a2+b2=25，c=5， 右焦点为(5，0)，右焦点到渐近线的距离为: 所以圆的方程为(x-5)2+y2=42，即x2+y2-10 x+9=0.,【补偿训练】已知双曲线C: 的焦距为10，点

16、P(2，1) 在C的渐近线上，则C的方程为( ),【解析】选A.设双曲线C: 的半焦距为c， 则2c=10，c=5. 又因为C的渐近线为 点P(2，1)在C的渐近线上， 所以 即a=2b， 又c2=a2+b2，所以 所以C的方程为 故选A.,【易错误区】忽视双曲线焦点位置致误 【典例】已知双曲线 的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率e为_.,【解析】当双曲线的焦点在x轴上时， 因为渐近线方程为 所以 所以离心率 当双曲线的焦点在y轴上时， 因为渐近线方程为 所以 这时 所以离心率 故双曲线的离心率为 或 答案： 或,【常见误区】,【防范措施】 1.条件要考虑全面 对题目条件的分析要透彻、全面，一般情况下若只给出渐近线方程、焦距、离心率等条件，要注意焦点位置的讨论，如本例