高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 不等式的证明 综合法与分析法的应用素材 北师大版选修4-5（通用）

1、综合法与分析法的应用一、知识要点综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知可知1可知2结论”所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论须知1须知2已知”；基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途

2、径，然后用“综合法”进行表达用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法 “分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达 分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的

3、问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。二、综合应用例1 已知AD是BAC的平分线，DECA，且交AB于E(如图)求证：DE=AE思路分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：至此，恰好是题设条件，问题得到解决评述：由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述例如对下面这道数学问题：例2 已知AF是直线，1=2，BE=CD，如图44求证：BD=CE(2)

4、综合证明表述如下： AF是直线，且1=2(已知)，3=4(等量减等量其差相等)又 BECD(已知)，BC=BC(公共边)，EBCDCB(边角边) BD=CE(全等三角形对应边相等)思路分析 (1)分析思路如下：至此步骤，均为题设中提供的条件，问题获得解决评述：实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的没有分析就没有综合；没有综合也没有分析问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它例3. 已知a，bR，且a+b=1 求证： 证法一：（分析法）因为显然成立，所以原不等式成立评述：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。证法二：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。其它方法略。例4.设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式显然成立原不等式成立评述：分析法即探讨结论成立的条件显然成立或与已知题设相合即可。例5.设m等于，和