高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数概念及应用考点例析素材 新人教A版选修2-2（通用）

1、导数概念及应用考点例析一、学习反思问题1：导数的工具性体现在哪些方面？高考对导数考查着力点是什么？解答：导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；对一些实际问题建立数学模型后求解导数类型的问题从题型上来看有几下特点：以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；利用导数求实际问题中的最值为中档题；与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题问题

2、2：如何利用导数求高次函数的最值？解答：一般情况下求最值的步骤为： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程=0的根，这些根也称为可能极值点；列表，检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点；将函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值二、考题解剖高考对导数的考查要求是：了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导数的概念；熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和

3、充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值考点1 考查导函数与原函数图象间关系例1 已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( ）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD（ ）（ ）（ ）（ ）解析：由图象可知：在上小于等于零，故原函数在上为减函数，故选C评注：函数图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等考点2 考查导数的几何意义例2 曲线在点处的切线方程是 解析：设切线的斜率为，因为，故所以所求的切线的点斜式方程为：，化简得：评注

4、：导数的几何意义是曲线数在某点处切线的斜率所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到考点3 考查导数的定义的应用例3 已知,为正整数，设，证明证明：因为：，所以评注：此题考查导数概念性质的直接应用导数的定义为：设函数在点处及其附近有定义，并且在该点函数增量与自变量增量的比值，当的极限存在，则称此极限为函数在点处的导数，即考点4 考查利用导数判断函数的单调性例4 已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围解析：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设的图象是开口向下的抛物线，由根的分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数综上所述的取值范围是评注

5、：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然考点5 考查导数在函数极点处的性质例5已知，讨论函数的极值点的个数解析：令=0得（1）当即4时有两个不同的实根,，不妨设0，因此无极值（3）当0即04时无实数根，即，故为增函数，此时无极值综上所述：当无极值点评注：此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件,即:设在某个区间内可导,函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号考点6 考查导数的实际应用例6 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?解析：设容器的高为，容器的体积为，则，化简得：， ，令可得：， （舍）当时， 时，所以当时，