高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件疑点解难素材 北师大版选修2-1（通用）

1、充分条件与必要条件疑点解难在有些题中,有的学生不能判断出充分条件和必要条件,原因是对题中所涉及到的知识不熟练,或是没有很好把握判断的方法.下面从几个例子出发来分析例1. 试分析:“x=3或y=5”是“x+y=8”的什么条件? 分析:要判定该例中为什么条件,需要做两件事;(1)由“x=3或y=5”能否推出“x+y=8”?(2)由“x+y=8”能否推出“x=3或y=5”?搞清了上述两个问题,就可以作出正确的论断了. 解:首先判定由“x=3或y=5”能否推出“x+y=8”,由“或”字联结的复合命题“x=3或y=5”有两个支命题: x=3与y=5组成,当这两个支命题中有一个正确.而另一个不正确时, “

2、x=3或y=5”就成立.这时“x+y=8”不成立,故由“x=3或y=5”推不出“x+y=8”. 其次判定由“x+y=8”能否推出“x=3或y=5”,当我们取x=2且y=6时, “x+y=8”成立,但此时“x=3或y=5”的两个支命题均不成立.因此,由“或”字联结的复合命题“x=3或y=5”不成立,故由“x+y=8”推不出“x=3或y=5”. 综上所述,我们可以判定: “x=3或y=5”是“x+y=8”的既不充分又不必要条件. 点评:由“或”字联结的复合命题,只要它的支命题中有一个为真,则该复合命题就为真.当且仅当它的各支命题均为假时,该复合命题才为假. 若将本例中的“或”字改为“且”字情况就会

3、改变, “x=3且y=5”可推出“x+y=8”,但反过来由“x+y=8”仍然推不出“x=3且y=5”,故“x=3且x=5”是“x+y=8”的充分必要条件.例2. 设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=900. 分析:由于在ABC中A=900的充要条件是a2=b2+c2,于是我们就是要由a2=b2+c2来推导这两个方程有公共根;以及由这两个方程有公共根推导a2=b2+c2 证明:充分性.因为A=900,所以a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)

4、=0,所以x+(a+c)x+(a-c)=0,该方程有两个根:x1=-(a+c),x2=-(a-c);同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0, 即x2+2cx-(a-c)(a+c)=0,所以x+(c+a)x+(c-a)=0,所以,该方程也有两个根;x3=-(a+c),x4=-(c-a),可以发现x1= x3,所以这两个方程有公共根. 必要性:设是方程的公共根,则 由(1)+(2)得=-(a+c),再代入(1)得:a2=b2+c2,所以A=900. 点评:这里论证的关键是必要性,即方程有公共根如何推导,我们是通过引进公共根,并将它代入这两个基本方程后找到解题的突破口的. 例3:已知p:q: x2-2x+1-m20(m0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 分析:先写出p和q,然后由q推出p,但p不能推出q,求m的取值范围. 解:由x2-2x+1-m20,得1-m1+m,q:A=x|x1+m,m0 由得-2x10. p:B=x|x10 p是q的必要不充分条件. AB解得m9 所求m的范围是9,+) 点评:条件关系和集合关系相互转化