高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.2 命题的四种形式素材2 新人教B版选修1-1（通用）

1、1.3.2 命题的四种形式课堂导学三点剖析一、四种命题【例1】 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：(1)当x=2时，x2-3x+2=0；(2)对顶角相等；(3)末位数是0的整数，可以被5整除.解析：(1)原命题：若x=2，则x2-3x+2=0.逆命题：若x2-3x+2=0，则x=2.否命题：若x2，则x2-3x+20.逆否命题：若x2-3x+20，则x2.(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.(3)原命题：若一个整数末位数是0

2、，则这个整数可以被5整除.逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数末位数是0.否命题：若一个整数末位数不是0，则这个整数不能被5整除.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数末位数不是0.二、四种命题真假性之间的关系【例2】 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这些命题的真假.(1)若ab，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac0,则该二次函数图象与x轴有公共点.解析：(1)该命题为假，当c=0时，ac2=bc2.逆命题：若ac2bc2，则ab.为真.否命题：若ab，则a

3、c2bc2.为真.逆否命题：若ac2bc2，则ab.为假.(2)该命题为真.逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真.(3)该命题为假，当b2-4ac0时，二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.逆命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac0，为假.否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac0，则该二次函数图象与x轴没有公共点.为假.逆否命题：若二次

4、函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点，则b2-4ac0.为假.温馨提示原命题与其逆否命题的真假性相同，而与其否命题、逆命题间的真假性没有必然的联系.三、有关四种命题真假性的证明【例3】 已知函数f(x)是(-,+)上的增函数，a、bR，对题“若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”.(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解析：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0，真命题.用反证法证明：假设a+b0，则a-b,b-a.f(x)是(-,+)上的增函数，则f(a)f(-b)f(b)

5、f(-a)，f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，这与题相矛盾，逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0，真命题.一个命题它的逆否命题，转化为证明原命题为真命题a+b0，a-b,b-a.又f(x)在(-,+)上为增函数，f(a)f(-b),f(b)f(-a).f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).原命题真.逆否命题为真.温馨提示若证明一个命题的真假性较困难时，常转化为证明其逆否命题的真假性.各个击破类题演练1在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是.(把

6、符合要求的命题序号都填上)解析：的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.显然不正确.的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点.为真命题.答案：变式提升1写出命题“若x24，则x-2”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.解析：逆命题：若x4(真)否命题：若x24，则x-2(真)逆否命题：若x-2，则x24(假)类题演练2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)若q1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0，则a=0或b=0；(3)若x2+y2=0，则x、y全为零.解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q1，真命题

7、.否命题：若q1，则方程x2+2x+q=0无实根，真命题.逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q1，真命题.(2)逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，真命题.否命题：若ab0，则a0且b0，真命题.逆否命题：若a0且b0，则ab0，真命题.(3)逆命题：若x、y全为零，则x2+y2=0，真命题.否命题：若x2+y20，则x、y不全为零，真命题.逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y20，真命题.变式提升2判断命题：若a0，则x2+x-a=0有实根的真假.解：写出逆否命题，再判断其真假原命题：若a0，则x2+x-a=0有实根.逆否命题：若x2+x-a=0无实根，则a0.判断如下：x2+x-a=0无实根，=1+4a0.a-0.“若x2+x-a=0无实根，则a0，且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20，a+b+c0.这与a+b+c0矛盾，因此，a、b、c中至少有一个大于0.变式提升3已知a、b、c是一组勾股数，即a2+b2=c