高中数学 第一章 计数原理 1.1 两个基本计数原理 深刻领会两个原理素材 苏教版选修2-3（通用）

1、1.1 深刻领会两个原理分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且这两个原理的运用贯穿于全章学习的始终，其基本思想方法，贯穿在解全章应用问题的始终。一、对两个原理的理解1、理解两个原理的关键在于明确分类计数原理，强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法。两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。2、使用分类计数原理还是分步

2、计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理。在具体运用环境中去理解应用分类计数原理和分步计数原理的关键是分清“类”和“步”。用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类时要做到“不重不漏”，各类的每一种方法都能独立完成；应用分步计数原理的关键在于分步，分步时必须做到“不重叠不跳步”，各步均是完成事件必须经由的缺一不可的步骤。3、正确理解分类和分步：“分类”指做“一件事情，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类。分类时首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准上进行分类；其次，分类时

3、要注意满足两条基本原则：完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两肋的两种方法是不同的方法。“分步”指“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事情的任何一种方法，都要分成n个步骤。分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事情必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成。4、分类分步计数原理是本章知识的起点，又是重点。分类分步计数原理是处理问题的基本手段。基本方法是通过分类分步把复杂问题分解为若干个简单问题来处理，体现了分类讨论的思想。使用两个原理解题时，必须分清原理的条件和结论，比较它们的异同。二、应用举例例1 小圆

4、圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有线相联。边线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量是（）A26 B24 C20 D19解析：关键是确定完成这件事，到底是分“类”还是分“步”。从A到B传递信息在相同时间有四条路线同时传递，每一条路线都能把信息从A传递到B，应采用分类计数原理。沿ACEB传递的最大信息量是3；沿ACFB传递的最大信息量是4；沿ADGB传递的最大信息量是6；沿ADHB传递的最大信息量是6；由加法原理，单位时间内传递的最大信息量是3+4+6+6=19，应选D。答案：D。

5、例2 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 。（以数字作答）解析：因为6个部分都栽好，才完成这件事情，所以应用乘法原理。第一步，在4种花中选一种栽在1号区域，有4种不同的栽法；第二步，余下的三种花任选一种栽在2、3、4、5、6号区域中的某一区域，有35种不同的栽法；第三步，还有两种花种在剩下四个区域中相对的两两区域，有两种不同的栽法。根据乘法原理得4352=120（种）答案：120种。三、错误例析例3 若5名学生争夺3项体育比赛的冠军（每名学生参加项目不限） ， 则冠军获得者有 种不

6、同情况（没有并列冠军）错解：错填35，任务被误解为每个同学夺冠都有三种可能性。正解：事件是“确定三项冠军的得主”，分为三个步骤，每个步骤确定每项冠军共有五种选择，因此冠军获得者可能有的种数为53。答案：53。同步练习1用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？2求下列集合的元素个数（1）；（2）3有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一

7、项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？4（1）设，从A到B共有多少个不同映射？（2）6个人分到3个车间，共有多少种分法？5.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?参考答案1、解（1）分三步：先选百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法； 个位数字有4种选法由乘法原理知所求不同三位数共有554=100个（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法所求三位数共有566=180个（3）分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数

8、字，有4种选法；选十位数字也是4 种选法，所求三位奇数共有344=48个（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有55=25个；三位数共有554=100个 因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个（5）分4类：千位数字为3，4之一时，共有2543=120个；千位数字为5，百位数字为 0，1，2，3之一时，共有443=48个；千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有23=6个；还有5420也是满条件的1个故所求自然数共120+48+6+1=175个说明：(1)排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0(2)第（5）题改成：可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？答案：588个。2、解：(1)分7类：x=0，y有7种取法；x=1，y有6种取法； x=2，y有5种取法； x=3，y有4种取法； x=4，y有3种取法； x=5，y有2种取法；，y只有1种取法。因此M共有7+6+5+4+3+2+1=28个元素。(2)分两步：先选x，有4种可能；再选y有5种可能由乘法原理，H共有个元素。3、解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：种；（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：种.4、解：（1)分6步：先选a的象，有3种可能，再选b的象也是3种可能，选f象也有3种可能， 由乘