高中数学 第二章 概率 2.5 随机变量的均值和方差 实际应用中均值与方差最值问题求解三法素材 苏教版选修2-3（通用）

1、2.5实际应用中均值与方差最值问题求解三法有关离散型随机变量的均值与方差的最值问题是随机变量及其分布的热点题型，这类问题一般综合性强，是同学们感到棘手的问题，解决这类问题时应根据问题的题设特点灵活采用相应的方法，现介绍三种常见求解方法。一、利用配方法例1 某物流公司批发的一种家用电器每周的销售量是一个随机变量，分布列为P（=k）=，k=11，12，13，30，而该公司每周进货量为区间中的某一整数，公司每销售一台家用电器可获利500元，若供大于求，则每台多余的电器需交保管费100元，若供小于求，则可以从其它公司调剂供应，此时每一台电器仅获利200元，问此公司周初进货量（含上周余量）应为多少才能使

2、周平均利润最大？分析：设周初进货x台，周利润为，要求周平均利润的最大值，就是要求E的最大值，为此需求出的取值，而又是的函数，需按供大于求，供不应求给出的表达式，然后利用函数、数列相应知识求解。解：设该公司周初进货量（含上周余量）为x台，周利润为随机变量，则= = P（=k）=，k=11，12，13，30，E=-100x)+500x+=+25x+=30（x-11）-5x（x-11）+25x+15x（30-x）+10（30-x）=-10x2+510x+3000=-10（x-25.5）2+9502.5。因为xN+，且x，所以x=25或x=26时，期望E取得最大值。此时周初进货量（含上周余量）为25台

3、或26台时，周平均利润最大。点评：本题是一个最值型实际应用问题，考查了函数、数列、概率与统计等知识，此类问题常常构造一元二次函数，利用配方法求解。解题时应注意变量的取值实际意义。二、利用二次函数的性质例2 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱得台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台电冰箱需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？解：设月初进x台，则获利是一个随机变量取值为300-（x-1）100，600-（x-2）100，300x，共x个值，它的分布列如下：300-（x-1）

4、100600-（x-2）100300xPE=（400-100x+800-100x+300x-400）+300x=-（x2-19x）。当x=9或x=10时，E最大，即月平均受益最大。月初购进9台或10台电冰箱才能使月平均收益最大。点评：此类问题常常构造一元二次函数，利用函数的性质求解，一般地，若a0，当x=-时，函数y=ax2+bx+c取得最小值；若a0，当x=-时，函数y=ax2+bx+c取得最大值。三、利用均值定理例3 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次试验中发生的次数。求的最大值。分析：有关方差等最值问题，常常构造函数，运用均值定理求解。解:随机变量的所有可能值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1-p，从而E=0（1-p）+1p=p，D=（0-p）2（1-p）+（1-p）2p=p-p2。=2-（2p+），0p1，2p+2，当2p=，即p=时，取“=”，因此，当p=时，取得最大值2-2。点评：本题主要考查了随机变量的分布列、期望、方差与函数的