27.2相似三角形（通用） (2).ppt

1、,名 师 课 件,27.2.2 相似三角形的性质,（1）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等，对应高、对应中线、对应角平分线也分别相等.全等三角形的周长相等、面积相等.,（2）相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.,（3）相似三角形的识别方法有：,证二组对应角相等,证三组对应边成比例,证二组对应边成比例，且夹角相等,（4）相似三角形的特征：,如右图，A B C 边：对应边成比例 角：对应角相等 相似比：相似比=对应边的比值=,（5）我们预习本课相似三角形的性质有哪些？ 怎么证明？,提出问题，引导探究,问题：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长

2、度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？,活动1,探究一：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比吗？,重点、难点知识,探究：如图，ABC ，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？,如图，分别作ABC和 的对应高AD和AD . ABC ， B= B . 又ABD和ABD都是直角三角形， ABD ABD. ,类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于 k.,提出问题，引导探究,问题：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中

3、线、角平分线的长度，以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？,活动1,探究一：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比吗？,重点、难点知识,归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.,一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.,例题讲解,例1 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于ABC，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为12，若BC30cm，AD10cm，求矩形EFGH的周长,活动2,探究一：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比吗？,重点、难点

4、知识,解：设HGxcm，则EH2xcm. 易得 APEH. AD10cm，AP(10 x)cm. 四边形EFGH为矩形，EHBC， AEHABC 解得x=6HG6cm，EH12cm. 矩形EFGH的周长为36cm.,点拨：当利用三角形相似求线段长，涉及三角形高时，可根据相似三角形对应高的比等于相似比求线段长.,阅读思考，合作探究,阅读与思考：两个相似三角形的周长、面积有什么关系呢？,活动1,探究二：相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于 相似比的平方？,重点、难点知识,探究：如果ABCABC，相似比为k，那么ABC与ABC的周长比和面积比分别是多少？,已知：ABC ，相似比为k. ADBC

5、于D， 于 . 求：（1） ；（2）,阅读思考，合作探究,活动1,探究二：相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于 相似比的平方？,重点、难点知识,已知：ABC ，相似比为k. ADBC于D， 于 . 求：（1） ；（2）,解： （1）由ABCABC ， 得 ， ， ； （2）,归纳结论：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.,例题讲解,活动2,探究二：相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于 相似比的平方？,重点、难点知识,例1：如图，在ABC和DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，A=D 若ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求DEF的边EF 上的高和面积,解：

6、在ABC和DEF中， AB = 2DE，AC = 2DF, ，又D=A， DEFABC，DEF 与ABC 的相似比为 . ABC的边BC上的高为6，面积为 ， DEF的边EF上的高为 面积为,点拨：此题由“两边成比例且夹角相等的两三角形相似”，可证得 DEFABC，再利用相似三角形性质求的高和面积.,例题讲解,活动2,探究二：相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于 相似比的平方？,重点、难点知识,例2.如图,在ABC中,DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求ABC的面积。,例题讲解,活动2,探究二：相似三角形的周长比等于相似比

7、，面积的比等于 相似比的平方？,重点、难点知识,解：DEFGBC，GIEFAB， ADEEFGGIC， SADE：SEFG=AE2：EG2=20：45，AE：EG=2：3， SEFG：SGIC=EG2：GC2=45：80， EG：GC=3：4，AE：AC=2：9， 而ADEABC，SADE：SABC=AE2：AC2=4：81， SABC= 20=405（cm2） 故答案为：405cm2,点拨：此题是由平行得三角形相似，再由“线段比等于面积比的算数平方根”求得线段比，最后由相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”，求得所求三角形面积.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,1.证明

8、两线段的相等关系,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,例1.如图，已知在ABC中，DEBC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N. 求证：BMMC.,分析：此题若利用三角形全等来证，很困难.可由平行线，得三角形相似，利用成比例线段来证.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,证明：DEBC.NEOMBO. 同理可得 DEBC，ANEAMC. 同理可得 MC2BM2. BMMC.,点拨：此题利用“等比代换”是关键.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,2.证明两线

9、段的倍分关系,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,例2.如图，AM为ABC的角平分线，D为AB的中点，CEAB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC2CE.,分析：由平行线，得三角形相似，利用比例线段证.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F. ABCF， BAMF，BDMCEM， BAMCFM， ， ， . 又BA2BD，CF2CE. 又AM平分BAC， BAMCAM，CAMF， ACCF，AC2CE.,点拨：此题利用了“等比代换”、“等线代换”.,合作探究

10、 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,3.证明两线段平行,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,例3.在ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EFBC，DFAB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M. 求证：MNAC.,分析：要证MNAC，可证EMNEFC， 可证MENFEC.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,证明：EFBC，AEMABD，AMFADC， ， 又DFAB， ， ， . 又MENFEC，MENFEC. EMNEFC.MNAC.,点拨：要证两直线平行，可证其同位

11、角或内错角相等，而相似三角形可得角相等，因此可设法证三角形相似.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,4.证明两线垂直,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,例4.如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC2ABAD，BC2BABD，求证：CDAB.,分析：要证CDAB，可证ADCBDC90. 题中有成比例的线段，可证得三角形相似，从而得角相等.,合作探究 利用相似三角形证线段的数量关系和位置关系,4.证明两线垂直,活动1,探究三：如何应用三角形相似证题？,重点、难点知识,例4.如图，在ABC中，D是AB上一点，且AC2ABAD，BC2BABD，求证：CDAB

12、.,证明：AC2ABAD， . 又AA，ACDABC.ADCACB. 又BC2BABD， . 又BB，BCDBAC. BDCBCA.ADCBDC. BDCADC180，ADCBDC90. CDAB.,点拨：当题中已知有成比例的线段时，应根据其比例式证得相似的三角形，再利用相似三角形性质得角相等或成比例的线段.,(1)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于相似比相似三角形对应线段的比等于 相似比. (2)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比 的平方.,知识梳理,重难点突破,（1）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形 相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质 （2）在应用性质“相似三角形面积的比等于相似比的平 方”时，要注意有相似比求面积必要平方，反过来， 由面积比求相似必要开方,重难点突破,（3）当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，