无约束最优化方法.ppt

1、第5章 无约束最优化方法,主要内容,5.1最速下降法 5.2共轭梯度法 5.3牛顿法 5.4变尺度法 5.5步长加速法 5.6旋转方向法 5.7方向加速法 5.8信赖域方法 5.9最小二乘法,无约束最优化问题的求解方法：解析法和直接法。 解析法需要计算函数的梯度，直接法仅通过比较目标函数值的大小来移动迭代点。 一般来说，无约束最优化问题的求解是通过一系列一维搜索来实现。 如何选择搜索方向是求解无约束最优化问题的核心问题，搜索方向的不同选择，形成不同的求解方法。,5.1最速下降法,5.1.1 最速下降法原理,5.1.2 最速下降法的计算步骤,clear syms x1 x2; %定义符号变量 f

2、x=2*x12+x22; %定义符号函数 X0=1,1; %初值 g=jacobian(fx,x1,x2); %求符号函数的梯度 H=jacobian(g,x1,x2); %求符号函数的海塞矩阵 x1=X0(1,1);x2=X0(1,2); %赋初值 g0=eval(g);H0=eval(H); %求符号函数在x1=1、x2=1梯度、海塞矩阵 k=0; fprintf(n) while norm(g0)eps %停机判断条件 lamda=g0*g0/(g0*H0*g0); %求lamda fprintf( k=%2d, lamda=%19.16f, x1=%19.16f, x2=%19.16f

3、, fx=%19.16f, norm(p)=%19.16fn, k,lamda,x1,x2,eval(fx),norm(g0) X0=X0-lamda*g0; x1=X0(1,1);x2=X0(1,2); g0=eval(g);H0=eval(H); k=k+1; end,5.1.3 最速下降法的收敛性,由定理5-1知，在最速下降法中，前后两次的搜索方向垂直（见图5-1）。 锯齿形的搜索轨迹使最速下降法效率低下。 最速下方向反映了目标函数的一种局部性质。从局部看，最速下降方向的确是函数值下降最快的方向，选择这样的方向进行搜索是有利的， 从全局看，由于锯齿现象的出现，当在极小点附近时，即使向着极

4、小点移动不太大的距离，也要经历不少的弯路，从而使收敛速度大为减慢。,最速下降法不仅简单，而且具有全局收敛性，并且是线性收敛的。 为避免锯齿现象对收敛速度的影响，在计算初期可使用最速下降法，在迭代一段时间以后，改用其它更有效的方法，如牛顿法等。 对一般的下降算法，只要搜索方向与迭代点处的负梯度方向的夹角小于90，使用精确一维搜索和不精确一维搜索在一定的条件下，可以证明下降算法具有全局收敛性。,共轭梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线性方程组而提出，1964年Fietcher和Reever在此基础上，首先提出了求解无约束最优化问题的共轭梯度法。 共轭梯度法的基本思想：

5、把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行一维搜索，求出目标函数的极小点。 该方法具有收敛速度快、存储空间小等特点，尤其是对于正定二次函数能在有限步内达到极小点，即具有二次终结性。,5.2共轭梯度法,5.2共轭梯度法,5.2.1 共轭方向与共轭方向法,复习,复习,复习,你能找到 A共轭方向吗？,P(0)和p(1)正交吗？,（5-2）,5.2.2 正定二次函数的共轭梯度法,5.2.3 共轭梯度法的计算步骤,5.2.4 非二次函数的共轭梯度法,复习,5.2.5 共轭梯度法的收敛性,5.3牛顿法,对一维搜索方法中的牛顿法加以推广，就得到了求解无约束优化问题的牛顿

6、法。 该方法具有收敛速度快的特点， 在牛顿法基础上的改进算法如阻尼牛顿法在实际中被广泛应用。,5.3.1牛顿法原理,利用二次函数近似目标函数。,5.3.2牛顿法的特点与收敛性,牛顿法优点：牛顿法具有二阶收敛速度。对二次正定函数，仅需一步迭代即可达到最优解，具有二次终结性。 牛顿法缺点： （1）牛顿法是局部收敛的，即初始点选择不当，可能会导致不收敛； （2）牛顿法不是下降算法，当二阶Hesse阵非正定时，不能保证是下降方向； （3）二阶Hesse阵必须可逆，否则算法将无法进行下去； （4）对函数分析性质要求苛刻，计算量大，仅适合小规模优化问题。 由于牛顿法有良好收敛速度，人们对它的缺点进行了多方

7、面改进和修正。,5.3.3 牛顿法的改进,1. 阻尼（广义）牛顿法,2.Goldstein-Price方法,5.4 变尺度法,5.4 .1 变尺度法原理,5.4 .2 DFP变尺度法,5.4 .3 BFGS变尺度法与初始尺度矩阵的修正,5.4 .4变尺度法的计算步骤,使用MATLAB软件实现DFP算法,例5-5 最优解搜索过程,例5-5 三维图,5.4 .5 变尺度法的性质与收敛性,5.5步长加速法,解析法：最速下降法、共轭梯度法 、牛顿法 和变尺度法需要计算目标函数的梯度。 直接法：不需要求目标函数的梯度。,5.5.1步长加速法的基本思想 又称模式搜索法（Pattern Search Met

8、hod）。 由胡克（Hooke）和基夫斯（Jeeves）于1961年提出的。 它不仅易于编制计算机程序，而且具有追循谷线加速移向最优点的性质。 基本思想从几何上讲，就是寻找具有较小函数值的“山谷”，力图使迭代产生的序列沿“山谷”逼近极小点。,5.5.2步长加速法的搜索过程 步长加速法由“探测移动”和“模式搜索”两个交替的动作构成。 探测移动：依次沿n个坐标轴进行，用以确定新的基点和有利于函数值下降的方向。 模式搜索：沿相邻两个基点连线方向进行，试图顺着“山谷”使函数值下降的更快（见图5-4）。,5.5.3步长加速法的计算步骤,5.6旋转方向法,5.6.1旋转方向法的基本思想,5.6.2旋转方向

9、法的搜索过程,5.6.3旋转方向法的计算步骤,请读者比较 步长加速法和旋转方向法的区别,5.7 方向加速(powell)法,5.7.1 方向加速法的基本思想,方向加速（Powell）法的基本思想：把整个搜索（计算）过程分为若干个阶段（轮），每个轮迭代由n+1次一维搜索组成。即在算法的每一轮中，先依次沿着n个已知的方向搜索，得到一个最好点，然后沿该轮的初始点与该最好点连线方向进行搜索，求得这一轮的最好点。再用最后的搜索方向取代前n个方向之一，进行下一轮的迭代。,Powell法的特点： 理论体系严密，本质是共轭方向法 在一定条件下具有二次终结性,5.7.2 基本powell法的计算步骤,5.7.3 powell法的二次终结性,5.7.4 改进的powell法,5.8 信赖域法,5.8.1 信赖域法的基本思想,无约束最优化问题的一般求解策略是，给定点后，定义搜索方向，再从出发沿作一维搜索，得到新的点。 信赖域方法另辟蹊径，其基本思想：给定点后，确定一个变化范围，通常取以为中心的球域（称为信赖域），在此域内优化目标函数的二次逼近式，按一定的模式求出后继点。如果不满足精度要求，再定义以为中心的信赖域，并在此域内优化新的二次逼近式，直到满足精度要求为止。 信赖域方法是Powell于19