第章行列式行列式的性质计算.ppt

1、一、对换 二、行列式的性质（重点） 三、行列式的计算（重点、难点） 四、行列式按行（列）展开,第一章 行列式,主要内容：,定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,一、对 换,提问：什么叫排列的奇偶性？,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明：,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数不变， 的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改

2、变 奇偶性.,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,推论,奇排列变标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.,定理2 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,证明,而标准排列是偶排列(逆序数为0),所以推论成立.,性质1 行列式D与它的转置行列式DT 相等,由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之同,性质2 互换行列式的两行 行列式变号,二、行列式的性质,性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式。,推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

3、,推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零。,性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和。 即,性质5 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零,性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。,下三角行列式？ 上三角和下三角行列式统称为三角形行列式。 显然， n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积,三、行列式的计算,在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查:,符号规定,第 i 行(或列)提出公因子 k 记作 rik (或 cik ),交换 i j 两行记作 rirj 交换 i

4、 j 两列记作 cicj,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj),对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形 行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角 形行列式主对角线上的元素相乘的积。,例1 计算 ,解：,c1c2,r2r1,r45r1,0,0,8,16,6,4,7,2,r2r3,r34r2,r48r2,40,r4r1,r3r1,6,解：,c1c2c3c4,6,c16,r2r1,6848,D,例3 计算 ,解：,r4r3,r3r2,r2r1,r4r3,r3r2,r4r3,a4,对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为,证,对D2作运算c

5、ikcj 把D2化为下三角形行列式 设为,于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式,故Dp11 pkk q11 qnnD1D2,把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得,根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n,解,四、余子式、代数余子式,的余子式和代数余子式分别为：,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子

6、式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,再证一般情形,此时,本次课例4 的特殊情形,把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调,得(共掉换i-1次)：,得(共掉换j-1次)：,再把D中的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调,中的余子式,故得,于是有,在运用定理3来计算行列式时，总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。,例6 证明：,证：由定理3将行列式按第1行展开，,对这个n1阶行列式再按第1行展开有：,这样逐步推下去，则得到,证：,用数学归纳法,所以当 时，(1)式成立。,因为,假设(1)对于n-1阶范德蒙德行列式成立.,按第1列展开，并把每列的公因子 提出， 就有,设法对Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有：,n-1阶范德蒙行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,把行列式D按第j行展开，有,行列式D，特别写出了第i行和第