第五章 2第二节 标准形 太原理工大学.ppt

1、返回,第二节标准形,一、二次型的标准型,可以认为，二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型,（1）,现在讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题.,返回,证明 下面的证明实际上是一个具体地把二次型化成平方和的方法，这就是中学里学过的“配方法”.,定理1 数域上P任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和(1)的形式.,这一节的主要结果是,我们对变量的个数n作数学归纳法.,对于n=1，二次型就是,f(x1)=a11x12 .,已经是平方和了，即结论成立. 现假定对n-1元的二次型，定理的结论也成立.,返回,下面分三种情形来讨论,再设,1) aii (i=1,2, ,n)中至少有一个不为零，

2、例如a110.这时,返回,这里,是一个x2,x3,xn的二次型. 令,或,这是一个非退化线性替换，它使,返回,能使它变成平方和,由归纳法假定，对 有非退化线性替换,返回,于是非退化线性替换,就使f(x1,x2,xn)变成,即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.,返回,它是非退化线性替换，且使,2)所有aii=0 (i=1,2, ,n) ，但是至少有一个a1j0 (j1)，不失普遍性，设a120.令,返回,这时上式右端是 z1,z2,zn的二次型，且z12的系数2a120，已属于第一种情况，定理成立.,3)所有a11=a12=a1n=0.,由于对称性，有a21=a31=an1=0.,这时,已

3、经是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.,这样我们就完成了定理的证明. 证毕.,返回,反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为：,易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵,定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.,定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使,成为对角矩阵.,返回,CTAC.,二次型f(x1,x2,xn)经过非退化线性替换所变成的平方和称为f(x1,x2,xn)的标准形.,返回,解,例1 化二次型,为标准形，并求

4、所用的非退化线性替换矩阵.,返回,返回,所用变换矩阵为,为标准形. 并求所用的非退化线性替换.,返回,例2 化二次型,解 作非退化线性替换,则,再令,返回,则,或,最后令,返回,则,或,是平方和.,而这几次非退化线性替换的结果相当于作一个总的非退化线性替换.,返回,返回,二、配方法的矩阵写法,1. a110, 这时的变量替换为,前面所讲的配方法，可以用矩阵写出来. 我们按前面的每一种情况写出相应的矩阵.,令,返回,则上述变量替换相应于合同变换,AC1TAC1 .,为计算C1TAC1 ，可令,返回,于是A和C1可写成分块矩阵,这里T为的转置，En-1为n-1级单位矩阵. 这样,返回,矩阵A1-a

5、11-1T是一个(n-1)(n-1)对称矩阵，由归纳法假定，有(n-1)(n-1)可逆矩阵G使,为对角形，令,于是,这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是,C=C1C2,返回,2. a11=0 ，但只有一个aii0.,这时，只要把A的第1行与第i行互换，再把第1列与第i列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取,i行,就是把A的第1行与第i行互换，再把第1列与第i列互换.因此，C1TAC1左上角第1个元素就是aii，这样就归结到第一种情形.,显然,返回,矩阵,3. aii=0, i=1,2, ,n ，但有一a1j0, j1.,与上一情形类似，作合同变换,返回,可以把a1j搬到第1行第2列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形. 与那里的变量替换相对应，取,于是C1TAC1的左上角就是,返回,也就归结到第一种情形.,由对称性，也有aj1=0, j=1,2, ,n. 于是有,A1是n-1级对称矩阵.由归纳法假定，有(n-1)(n-1)可逆矩阵G使,上页,下页,返回,4. a1j=0, j=1,2, ,n.,成对角形.取可逆矩阵,CTAC就成对角形矩阵了.,上页,下页,返回,为标准形.并求出所用的非退化线性替换矩阵.,例2 化二次型,解 f(x1,x2,x3) 的矩阵为,取,上页,下页,返回,有,再取,上页,下页,返