上海交大809考研机械设计与理论c 第二章物理系统的数学模型.ppt

1、第二章 物理系统的数学模型,描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型,输入输出描述法,第二章 物理系统的数学模型,第一节 物理系统的数学模型,后一页,返回,第二节 控制工程的数学方法,第三节 非线性系统模型的线性化,第四节 典型环节及其传递函数,第六节 信号流图,第五节 系统方块图及其传递函数,一、数学模型,2.1 物理系统的数学模型,描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型称建模 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元

2、件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。,电子放大器 看成 理想的线性放大环节,建立控制系统数学模型的方法有 ：,分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。,二、分析法建立系统数学模型的几个步骤：,建立物理模型, 列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及消去中间变量，建立适当的输入输出模型,实验法基于系统辨识的建模方法,已知知识和辨识目的 实验设计-选择实验条件 模型阶次-适合于应用的适当的阶次 参数估计-

3、最小二乘法 模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近,三、典型系统微分方程的建立,1、机械系统,质量弹簧阻尼系统,由牛顿定律、胡克定律：,2、电气系统,RLC电路,根据电路原理：,机系统和电系统具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统. 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。,力（力矩）-电压相似中的相似量,所示为电枢控制直流电动机，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速m（t）（r

4、ad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。,3、电动机,Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）,解：,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方

5、程,电枢回路电压平衡方程：,Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 Ea=Cem（t） Ce反电势系数（v/rad/s）,电磁转距方程：,-电动机转距系数 （Nm/A） -是由电枢电流产生的电磁转距（Nm） 电动机轴上的转距平衡方程： Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）,、求出ia(t)，代入同时亦代入得：,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计， 因而可简化为,电动机机电时间常数（s）,如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯

6、量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为,电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。,四、反馈控制系统运动方程式的建立,例：枢控直流电动机调速系统,输入量 ur 输出量 (n),建立数学模型： 由局部（元件） 系统,1，放大器 ud = K1(urub) = K1ue,ud为输入量，为输出量， i、 T中间变量,2, 直流电动机 e = Ke T = KTi,消去中间变量得:,令:,电磁时间常数,机电时间常数,3, 测速电机 ub =K2,消中间变量，得输入输出方程,框图,系统最基本的数学模型是它的微分方程式。 建立微分方程的步骤如下： 确定系统的输入量和输出量 将

7、系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递 的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节 的线性化原始方程。 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方 程式。,总结（见书),求解需要初始条件,2.3 非线性数学模型的线性化,以放大器为例：在一定范围内输出与输入是线性关系y=kx，但是当放大器饱和时，y与x就不是线性关系了。,具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x),在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开,前一页,后一页,增量较小时略去其高次幂项，则有,两个变

8、量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数展开为,令y=kx k比例系数，函数在x0点切线的斜率,前一页,后一页,略去二级以上导数项，并令yy-f(x10,x20),这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。,例2-4 试把非线性方程 z=xy 在区域5x7 、,10y12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。,因此，线性化方程式为：,z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=510=50 由

9、线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49,因此，误差为50-49=1，表示成百分数,解：由于研究的区域为5x7、10y12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有,前一页,后一页,2.4 典型环节及其传递函数,前一页,后一页,前一页,后一页,m个,单输入、单输出线性控制系统可由有限个典型环节串联组, 典型环节分为6种,式中 K-增益 特点： 输入输出量成比例，无惯性地跟踪输入量无失真和时间延迟。 实例：电

10、子放大器，齿轮，电阻（电位器）等。 实践中纯放大环节极少见,只有在忽略一些因素的前提下才能把某些部件看成是放大环节,前一页,后一页,比例环节（）,式中 T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RC无源网络,前一页,后一页,惯性环节（）,前一页,后一页,一阶微分环节（）,二阶微分环节（）,特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数可近似为理想微分环节(一定条件下) 在实际系统中不独立采用，而是与其他典型环节（如惯性环节）组合使用,理想微分环节,积分环节的输出取决于输入对时间的积累过程

11、 特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 改善系统的稳态性能 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,前一页,后一页,积分环节（）,式中 x阻尼比 wn-自由振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,前一页,后一页,振荡环节（）,延滞环节延迟环节,式中: t 延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,前一页,后一页,1、放大器 ud = K

12、1(urub) = K1ue,前一页,后一页,2、直流电动机,为两输入系统，有叠加原理，设mL = 0 (空载) ：,前一页,后一页,3、测速电机,表示出系统中各个元件的功能和信号的流向 并可把系统中所有变量联系起来，有运动方程的职能,前一页,后一页,2.5 系统方块图及其传递函数,、方块图（1）方块（Block Diagram）:函数方块，表示输入到输出单向传输间的函数关系。,信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。,C(s)=G(s)R(s),前一页,后一页,注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。,（2）比较点（合成点、综合点）Summing P

13、oint 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。,前一页,后一页,(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置,注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。,前一页,后一页,二、 方块图的运算规则,1、串联,要点：保持变换前后输入输出关系不变,n为相串联的环节数,（注意：负载效应！）,前一页,后一页,2并联,特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出为各环节的输出之和。,结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即：,前一页,后一页,E(s) = U(s) G2(s)Y(

14、s) Y(s) = G1(s) E(s),3、负反馈,Y(s) = G1(s) U(s) G2(s)Y(s) = G1(s) U(s) G1(s) G2(s)Y(s) 1+ G1(s) G2(s) Y(s) = G1(s) U(s),前一页,后一页,前一页,后一页,比较点和分支点（引出点）的移动,方块图等效变换规则,分支点移动示意图,前一页,后一页,三、系统传递函数,前向通路传递函数-假设N(s)=0,反馈回路传递函数 假设N(s)=0,前一页,后一页,(1)开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。,前一

15、页,后一页,(2)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function,叠加原理得到总的闭环系统的传递函数,前一页,后一页,(a) 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。,推导：因为,右边移过来整理得,即,前一页,后一页,(b)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0,输出对扰动的结构图,系统对控制量和扰动量的闭环传递函数的分母相同，即有相同的特征方程,前一页,后一页,线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出表示为：,前一页,后一页,(3)系统偏差传递函数 ：以偏差信号为输出量，R(s), 或N(s)为输入量的闭环

16、传递函数,(a)在控制量作用下的系统的偏差传递函数 假设N(s)=0 偏差信号E(s)与输入信号R(s)之比 。,前一页,后一页,（b）偏差对扰动的传递函数 假设R(s)=0,若同时作用，叠加,注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的偏差可抵消R(s)产生的偏差。,前一页,后一页,四、绘制系统方块图的步骤,（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。 系统方块图-也是系统数学模型的一种。,前一页,后一页,画出下列RC电路的方块图。,

17、解：利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得,将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。,前一页,后一页,例：绘出下列R-C网络的方块图,前一页,后一页,并与下图进行比较,解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变 换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；,前一页,后一页,按信号流向写,（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。,前一页,后一页,如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示,前一页,后一页,五、利用方块图求取系统函数,

18、例：用方块图的等效法则，求图所示系统的传递函数C(s)/R(s),解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图 。,-,前一页,后一页,串联和并联,-,前一页,后一页,反馈公式,前一页,后一页,前一页,后一页,例：将系统方块图简化,简化提示：1）分支点A前移（除） 2）比较点B后移 （除） 3）比较点1和2交换。,前一页,后一页,前一页,后一页,2.6 信号流图和梅逊公式（SJMason） 方块图是一种很有用的图示法。对于

19、复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。,前一页,后一页,2.6.1信号流图及术语,Y(s)=F(s)H(s),信号流图就是表示一组线性代数方程结构的图,s域中：线性微分方程表现为一组代数方程,前一页,后一页,2）节点信号等于所有流入该节点的信号之和。,1）支路输出信号等于输入乘以支路增益。,一、信号流图的构成原则：,前一页,后一页,二、术语和基本性质,节点：表示系统中信号或变量的点。,支路：两节点的有向线段。,支路增益：两节点间的传递函数。,转

20、移函数=1时，为单位传输支路。,输入节点：仅有输出支路的节点称输入节点。,输出节点：仅有输入支路的节点称输出节点。,混合节点,通路：从任一节点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和节点到达另一节点的路径。,前一页,后一页,回路（闭通路，环路）：通路的终点就是通路的起点且与其余节点相遇不多于一次。,不接触回路：相互没有公共节点的回路。,自回路（自环）：只有一个节点和一条支路。,回路增益：回路中所有支路增益的乘积。,前向通路：从源点到汇点的开通路。,前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积。,具体见下图所示：,前一页,后一页,信号流图的示意图,前一页,后一页,汇点：,回路：,前一页,后一

21、页,为自回路,应用信号流图表示LTI系统时，应遵循如下基本性质：,1）信号只能沿支路箭头方向传输，支路输出等于支路 输入与支路增益的乘积。,2）节点多个输入时，该节点将所有输入支路的输出相 加，并将此信号之和传递给所有与该节点相连的输出。,前一页,后一页,前向通路：,2.6.2,i:从输入节点到输出节点的第i条前向通路的标号。,:从输入节点到输出节点的第i条前向通路的增益。,:信号流图的特征行列式,前一页,后一页,：所有不同回路增益之和；,：所有两两不接触回路的增益乘积之和；,：所有三个都互不接触回路的增益乘积之和。,：第i条前向通路特征行列式的余因子，它是与第 i条前向通路不相接触的子图的特

22、征行列式。,前一页,后一页,各回路都与该通路相接触,：,无不接触回路,前一页,后一页,例:求图所示信号流图的总增益,前一页,后一页,前一页,后一页,前一页,后一页,前一页,后一页,例：复杂多回路系统,例利用Masons gain formula 求图所示系统的闭环传递函数。,解：前向通路有3个,4个单独回路,互不接触,总结,从原理图画系统方块图的方法 方块图的简化 基本连接方式串联、并联和反馈的简化 比较点、分支点的移动 信号流图及Masons Gain Formula,控制系统的分析方法,分析控制系统 第一步 建立模型 第二步 分析控制性能，,分析方法包括 时域分析法 频域分析法 根轨迹法 每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象,时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。,频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。,动态过程和稳态过程,瞬时响应和稳态响应 Transient Response & Steady_state Response 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。 1