创新设计(苏教版)第八章第4讲直线、平面垂直的判定及性质.ppt

1、考点梳理,(1)定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直 (2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为：a，b，abP，la，lbl.,第4讲直线、平面垂直的判定及性质,1直线与平面垂直,任意一条,相交,(3)性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行用符号语言表示为：a，bab. (4)直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的_所成的锐角(或直角)，叫做这条直线与这个平面所成的角,射影,(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作_棱的两

2、条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 (2)二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角须具有以下三个特点： 顶点在棱上；两边分别在两个面内；两边与棱都垂直 (3)作二面角平面角常用的方法是定义法和垂直面法,2二面角,垂直于,(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_，那么这两个平面互相垂直用符号语言表示为a，a. (3)性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们的_的直线垂直于另一个平面用符号语言表示为：，l，a，ala.,3面面垂直,直二面角,垂线,交线,高考中始终将直线与平面垂直的性

3、质与判定作为考查的重点，尤其是以多面体为载体的线面平行、垂直的证明，更是年年考，并且在难度上以中档题为主，预计高考中本节内容仍为考试的重点和热点,【助学微博】,题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若a，b，则ab； 若a，b，则ab. 其中真命题的序号是_ 解析由公理4知是真命题在空间内ab，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题 由a，b，不能判定a、b的关系，故是假命题是直线与平面垂直的性质定理 答案,考点自测,1用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命,2(2012南通第一学期期末考试)已知直线l平面，直线m平面.给出下列命题：lm；l；lm；lm.其中正

4、确的命题是_(填序号) 答案 3(2012无锡市第一学期期末考试)对于直线m，n和平面，有如下四个命题：若m，mn，则n；若m，mn，则n；若，则；若m，mn，n，则.其中正确命题是_(填序号) 答案,4(2012盐城调研)如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_,解析如图，过点A作AO平面于点O，作OCl于点C，连接AC，则ACl，ACO为平面与平面所成二面角的平面角，且ACO60，,5(2011全国卷)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足则AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于_,【例1】 如图所示

5、，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,考向一直线与平面垂直的判定与性质,证明(1)由四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD.ACCD，PAACA， CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)，知AECD，且PCCDC， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD.,PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， AB

6、PD.又ABAEA，PD平面ABE. 方法总结 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、 “线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在,证明由题意可知，PAC为等腰直角三角形，ABC为等边三角形 (1)因为O为边AC的中点，所以BOAC. 因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC. BO平面ABC，所以BO平面PAC.,因为PA平面PAC，所以BOPA. 在等腰直角三角形PAC内，O、E为所在边的中点，

7、 所以OEPA. 又BOOEO，所以PA平面EBO.,【例2】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，ECCA2BD，M是EA的中点求证： (1)DEDA； (2)平面BDM平面ECA.,考向二平面与平面垂直的判定与性质,方法总结 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键,【训练2】 (2011江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD

8、，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点 求证：(1)直线EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD.,证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD. 又因为EF平面PCD， PD平面PCD， 所以直线EF平面PCD.,(2)连结BD.因为ABAD，BAD60， 所以ABD为正三角形 因为F是AD的中点，所以BFAD. 因为平面PAD平面ABCD， BF平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 所以BF平面PAD. 又因为BF平面BEF， 所以平面BEF平面PAD.,考向三线面、面面垂直的综合应用,(1)证明AB平面PAD，平面PAD平面ABCD

9、. 平面PAD平面ABCDAD，PHAD， PH平面ABCD.,方法总结 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直,【训练3】(2012南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA. (1)求证：平面EFG平面PDC； (2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比,(1)证明因为MA平面ABCD，PDMA， 所以PD平面ABCD. 又BC平面ABCD，所以PDBC. 因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC. 又P

10、DDCD，所以BC平面PDC. 在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点， 所以GFBC，所以GF平面PDC. 又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.,考向四线面角、二面角的求法,(2)证明如图，过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB，从而CDAB. 又CDFA，FAABA， 所以CD平面ABF.,方法总结 找二面角的平面角常用的方法有： (1)定义法：作棱的垂面，得平面角 (2)利用等腰三角形、等边三角形的性质，取中点找二面角,【训练4】 (2011山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFA

11、B，FGBC，EGAC，AB2EF. (1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE； (2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小,解(1)法一因为EFAB， FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90， ABCEFG. 由于AB2EF，,所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA. 又FA平面ABFE，GM平面ABFE， 所以GM平面ABFE.,法二 因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90， 所以EGF90， ABCEFG， 由于AB2EF， 所以BC2FG. 取BC的中点N，连接GN，,因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB. 在ABCD中，M是线段AD的中点，连

12、接MN， 则MNAB.因为MNGNN，ABFBB， 所以平面GMN平面ABFE. 又GM平面GMN， 所以GM平面ABFE.,(2) 由题意知，平面ABFE平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为ACBC，所以CHAB， 则CH平面ABFE. 过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CRBF， 所以HRC为二面角ABFC的平面角 由题意，不妨设ACBC2AE2. 在直角梯形ABFE中，连接FH，,高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目,规范解答13求线段的长度问题,【示例】(2011浙江卷

13、)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC； (2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由,审题路线图 (1)证明BCAD，BCPO即可， (2)作BMAP，连CM，根据已知的长度求AB、PB、PA长，易求cosBPA，则可求AM. 解答示范 (1)证明：由ABAC，D是BC的中点， 得ADBC.又PO平面ABC，得POBC. 因为POADO，所以BC平面PAD，故BCPA.(4分),高考经典题组训练,(1)证明如图，取AD的中点O，连接PO、BO， 四边形ABCD是边长为1的菱形，连接BD， ABD为等边三角形 BOAD.,3. (2012福建卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点 (1)求证