高等流体力学第四章(3).ppt

1、4.11 镜像法,如欲求圆柱外一位于 点，强度为 的点涡的复位势，可在圆柱内 点添加一强度为 的点涡，在原点添加一强度为 的点涡，三个奇点在圆柱外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。,镜像法,当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复位势，其作法是在物体内部适当位置也布置奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一条流线,请注意圆内 点即对于圆外一点 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于圆半径的平方， ； 它们的圆心处于同一条直线上，即 和 有相同的幅角。,假设奇点全在 的上半平面内，当无物体边界时，其复速度

2、势为 ， 当实轴为边界时，这些奇点在上半平面产生的复位势为,4.11 镜像法,以实轴为边界,式中 表示除 外其余复常数均取其共轭值。,如图求实轴上点涡 的复位势，,点涡复位势,事实上在实轴上， ， （ 即 的复共轭函数，表示对 中所有复数取共轭)， 实数，即实轴是一条 的流线，并且在 的区域内并未增加新的奇点，即在上半平面内 的奇点和 的奇点完全一样，是除原奇点外的解析函数。,4.11 镜像法,这表明以实轴为边界时，一个点涡的复位势等于它本身的复位势与其以实轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。,事实上在虚轴上 ， ， 实数，即虚轴是 的流线，并且在 的区域内并不增加新的奇点

3、。,设奇点全在 的平面内，当无物体边界时，其复位势为 ，当虚轴为边界时，这些奇点在右半平面内产生的复位势为,4.11 镜像法,以虚轴为边界,复位势可以增加或减少一个常数，而不影响流体运动，c可以略去。上式表明当以虚轴为边界时，一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以虚轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。,以点涡为例，由上式,在圆上 所以 实数，即圆周是一条流线。 另一方面，奇点位置 ，全在圆外，其镜像点位置 ，全在圆内，圆外未增加奇点。,设在无界流体中的复位势为 ，其所有奇点都在圆 外，当在流场中有一个圆心在原点，半径为 的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为,4.11 镜

4、像法,圆定理,圆柱的无环量绕流,平行流的复位势,圆柱无环量绕流的复速度势,这正是4.7节所求得到的结果。,例1：设在 点有一强度为 的点涡， ， ，求存在半径为 的圆周 时的复位势,上式中常数可以删去。这正是我们在介绍镜像法时举例提到的圆外点涡流场的结果。,4.11 镜像法,解：,4.12 保角变换,复变函数 把 平面上的区域映射到 平面的某区域上去。如果函数 在 平面处处解析且 ，则 的值与增量 的方向无关，而只是点的函数. 设 , 或 ，则上式中 ， 只应是点的函数。,保角变换,4.12 保角变换,由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元 ，经过 变换以后，在 平面的相应线元 的长

5、度伸长了 倍，变为 ，而且曲线的方位旋转了 角。由于 只是 的函数，过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角度，且旋转方向相同，于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角在变换后保持不变，这种映射称为保角映射。,4.12 保角变换,拉普拉斯方程,已知 在 平面内满足拉氏方程，,上式中 ， 可以从 得到。,保角变换 把 变换为 平面中的函数 ，,由上述条件可以证明 在 平面内也满足拉氏方程，,（参阅Fundamental Mechanics of Fluids， pp.92-97）,4.12 保角变换,保角变换 把 平面中的拉氏方程转换为 平面中的拉氏方程，即如果 在 平面内是调和函数， 在

6、 平面内也必然是调和函数。,4.12 保角变换,4.12 保角变换,若存在保角变换,复位势,因为 在 平面和 平面都满足拉氏方程，,在 平面是复位势,相反也成立。,在 平面是复位势,如果 平面内 已知，则 平面内相应的复位势 可通过代入变换函数而求得，,若,则,4.12 保角变换,在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把 平面（物理平面）上比较复杂的外形变换成 平面（映射平面）上简单的外形，如圆或无穷长平板，而这些简单外形的流动复位势是已知的，于是就可求得复杂外形流动问题的复位势。,物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换，而是相互成比例，比例系数取决于变换函数。经过保角变换复速度的大

7、小、方向都改变了。,4.12 保角变换,复速度,4.12 保角变换,点源和点汇,设 是封闭曲线C内所有涡的强度 ， 是C内所有源的强度，则,点涡、点源经保角变换后强度保持不变。,设 是 平面和 平面上的相应封闭曲线， 和 分别是 内一个点涡的强度和一个点源的强度，则,4.12 保角变换,（ 为实数）,4.13 茹柯夫斯基变换,在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同，速度的大小和夹角都相等。,茹柯夫斯基变换,在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换,4.13 茹柯夫斯基变换,奇点,是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。,4.13 茹柯夫斯基变换,保角变换失效点,时,称临界点(cri

8、tical points)， 在临界点变换不保角。,平面上的两条线的夹角在 平面上变换为原夹角的2倍。,4.13 茹柯夫斯基变换,平面通过 点的光滑曲线在 平面变换为尖角,圆变线段,4.13 茹柯夫斯基变换,在上述变换中，圆变换为线段，圆外区域变换为整个 平面，圆内区域也变换为整个 平面，这可用圆外点 和圆内点 对应于 平面同一点来证明，因此上述变换是双值的。实际流动中，圆内区域在物体内部，上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难。,平面上圆心在原点，半径为 c 的圆变换为z平面实轴上的割线段。,在 变换的保角性被破坏了。,椭圆半长轴 ，半短轴 ，长轴沿 x 轴，短轴沿Y 轴。,4.14 椭圆绕流,茹柯夫斯基变换,平面内圆方程，,椭圆变圆,设 平面内均匀来流速度为U，相对于椭圆主轴攻角为 。因为在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换，可知 平面内无穷远处的相应速度也为U，攻角也为 。,4.14 椭圆绕流,在 平面原点放置圆柱，根据圆周定理可得绕流圆柱复位势，,平面均匀来流复势 ，,圆柱绕流复位势,Z,U,U,第一部分为均匀来