矩阵位移法.ppt

1、学习内容 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。,第九章 矩阵位移法,学习目的和要求 目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩阵

2、位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。,学习目的和要求 要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度

3、矩阵。,矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，一种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计算机进行自动化计算的要求。,第一节 矩阵位移法概述,结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别。 前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。,与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有易于实现计算过程程序化的

4、优点而广为流传。,矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。,1、矩阵位移法的基本思路,力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。,位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，目前广为采用。,结构结点力,杆件杆端力,杆件端点位移,结构结点位移,位移法,力 法,位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同,a、方法的选择,1、矩阵位移法的基本思路,b、基本假设和基本原理,线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理

5、,c、正负号规定（采用右手法则）,杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；,杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。,结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；,化整为零,（离散化、单元分析）,集零为整,（结点力平衡、位移协调）,先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然后按单元力学性质对每个单元建立单元刚度方程，在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。,矩阵位移法的要点 ：,将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，原结

6、构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连接而成的体系化整为零,在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。,2、单元划分,为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点，但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。,将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连接而成的体系化整为零,第二节 单元刚度矩阵,1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法 图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变

7、形外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转过90为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和末端。i端的杆端位移为 、 和 ，相应的杆端力为 、 和 (各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是单元的编号，下同)；,j端的杆端位移为 、 和 ，相应的杆端力为 、 和 。,杆端力和杆端位移的正负号规定为：,杆端轴力 与 轴正

8、方向一致为正，杆端剪力 以与 轴正方向相同为正，杆端弯矩 以逆时针转向为正，杆端位移的正负号规定与杆端力相同。,上述杆端位移分量可用矩阵表示为：,i端的位移分量为：,j端的位移分量为：,单元e的杆端位移列阵为：,杆端内力的矩阵表示：,2. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式,若忽略轴向变形和弯曲变形之间的相互影响,则可分别导出轴向变形和弯曲变形的刚度方程。,首先,由虎克定律可知:,其次,可由转角位移方程，并按规定的符号和正负号,可将单元两端的弯矩和剪力表示为:,将上面两式中的六个刚度方程合在一起,写成矩阵形式为:,（91）,上式称为单元的刚度方程,它可简写为：,分别称为单元的杆端力列阵和杆端位移

9、列阵，而,式中,（92）,（93）,（94）,（95）,称为单元刚度矩阵 (简称为单刚)。它的行数等于杆端力列向量的分量数,列数等于杆端位移列向量的分量数,因而 是一个66阶的方阵。值得注意的是杆端力列阵和杆端位移列阵的各个分量,必须是按式(9-3)和(9-4)那样从i到j按一定次序排列。否则,随着排列顺序的改变, 中各元素的排列亦将随之改变。为清晰起见,在式(9-5)的上方注明杆端位移分量,而在右方注明杆端力分量。,(1) 单元刚度矩阵中各元素的物理意义,中每一元素的物理意义就是当所在列对应的杆端位移分量等于1(其余杆端位移分量为零)时,所引起的所在行对应的杆端力分量的数值。,(2) 单元刚

10、度矩阵的性质,1) 对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵 中位于主斜线两边对称位置的两个元素是相等的,故 是一个对称方阵。,2) 奇异性 单元刚度矩阵 是奇异矩阵。 的相应行列式的值为零,逆矩阵不存在。因此,若给定了杆端位移 ,则可以由式(9-4)确定出杆端力 ；但是给定了杆端力 后,却不能由式(9-4)反求出杆端位移 。由于讨论的是一般单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。,3. 特殊单元的刚度矩阵,（1）不考虑轴向变形的刚架单元,由于 ，可将式（95）中删去与轴向变形对应的行和列（即第1、4行和1、4列），则,（2

11、）只考虑轴向变形的桁架单元,由于 ， 可将式（95）中删去第2、3、5、6行（列），则,（3）只考虑弯曲变形的连续梁单元,由于 ，可将式（95）中删去第1、2、4、5行（列），则,第三节 单元刚度矩阵的坐标变换,在上节中，单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系中的。其目的是推导出的单元刚度矩阵形式最简单。如果从整体分析的角度来考虑，对于整个结构，由于各杆轴方向不尽相同，因而各单元的局部坐标也不尽相同，很不统一。为了便于整体分析，在考虑整个结构的几何条件和平衡条件时，必须选定一个统一的坐标系，称为结构坐标系(或整体坐标系)。为了与局部坐标相区分，结构坐标系用xoy表示。,为了推导结构坐标系下的单元

12、刚度矩阵 ，可采用坐标变换的方法，即把局部坐标系中建立的单元刚度矩阵 转换为结构坐标系中的 ，为此，首先讨论两种坐标系中单元杆端力的转换式，得到单元坐标转换矩阵；其次再讨论两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。,1. 单元坐标转换矩阵,上图所示杆件ij，在局部坐标系中，仍按式(9-3)、(9-4)一样，以 、 分别表示杆端力列向量和杆端位移列向量。而在结构坐标系中，用 和 来表示杆端力列向量和杆端位移列向量，即,(9-6),(9-7),其中力和线位移与结构坐标系指向一致者为正，力偶和角位移以逆时针方向为正，由x轴到 轴的夹角以逆时针转向为正。,在两种坐标系中，力偶都作用在同一平面上，是垂直于坐标平

13、面的矢量，因而不受平面内坐标变换的影响，有,杆端力之间的转换关系式可由投影关系得到，即,（a）,（b）,将(a)、(b)两式写成矩阵形式，则为,(9-8),或简写为,(9-9),其中,(9-10),称为坐标转换矩阵。即为两种坐标系中杆端力之间的转换式。,单元坐标转换矩阵 是一个正交矩阵。因此，其逆矩阵就等于其转置矩阵，即,(9-11),同理，在两种坐标系中单元杆端位移之间也存在相同的转换关系式，即,(9-12),2. 结构坐标系中的单元刚度矩阵,下面讨论两种坐标系中单元刚度矩阵之间的转换关系。,由式(9-2)有,将式(9-9)和式(9-12)代入上式，得,两边同左乘以 ，得,上式可写为,其中,

14、这里 就是结构坐标系中的单元刚度矩阵，式(9-14)即为两种坐标系中单元刚度矩阵之间的转换关系式。,(9-13),(9-14),由于在以后的结构分析中，要对结构中的每个结点分别建立平衡方程，为便于讨论，把式(9-13)按单元的始末端结点i、j进行分块，写成如下分块形式,式中,分别为始端i及末端j的杆端力及杆端位移列向量。 、 、 为单元刚度矩阵的四个子块，即,(9-15),(9-16),(9-17),每个子块为33阶方阵。由式(9-17)可知,(9-18),将式（9-5）和式（9-10）代入式（9-14），并进行矩阵乘法运算，可得整体坐标系下的单元刚度矩阵的计算公式。,与局部坐标系中的单元刚度

15、矩阵 相似，结构坐标系中的单元刚度矩阵 也具有如下性质：,(1) 也是一个对称矩阵； (2) 也是奇异矩阵。,当结构坐标系与局部坐标系相同(=0)时，则两种坐标系中的单元刚度矩阵亦相同，即,=,对拉压杆单元(如桁架中各杆件)，如下图所示，在结构坐标系中的杆端力和杆端位移列向量分别为,杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵如式(10-8)所示，而坐标转换矩阵 T为,结构坐标系下的单元刚度矩阵可按式(9-14)来计算，其四个子块为,第四节 结构的原始刚度矩阵,结构的整体分析，即在单元分析的基础上，考虑各结点的几何条件及平衡条件，建立结构的刚度方程和结构刚度矩阵。现以下图所示刚架为例来说明。,首先对各单元

16、及结点进行编号。用、表示单元编号；用1、2、表示结点编号，这里支座也视为结点。其次，选取结构坐标系和各单元的局部坐标系如图(b)所示。各单元的始末两端i、j的结点号码如表9-1表示，则按式表示的各单元刚度矩阵的四个子块应为：,（a）,表10-1 各单元始末端的结点编号,在平面刚架中，每个结点有两个线位移和一个角位移。此刚架有四个结点，共有12个结点位移分量，按一定顺序排列成一列阵，称为结点位移列向量，即,其中这里，i表示结点i的位移列向量， 、 和 分别为结点i沿结构坐标系x、y轴的线位移和角位移，它们分别以沿坐标轴的正向和顺时针方向为正。,设刚架只受到结点荷载(非结点荷载可等效为结点荷载，后

17、面讲解)，则与结点位移列向量相应的结点外力(包括荷载和反力)列向量为,这里，Fi代表结点i的外力列向量， 、 和 分别为作用于结点i的沿x、y方向的外力和外力偶，它们的正负号规定与相应的结点位移相同。在结点2、3处，结点外力F2、F3就是结点荷载，它们通常是给定的。而在结点1、4上，当没有给定结点荷载时，结点外力F1、F4就是支座反力；当支座处还有给定的荷载作用时，则应为结点荷载与支座反力的代数和。,下面考虑结构的平衡条件和变形条件。,各单元和各结点的隔离体图如图(c)所示。图中各单元上的杆端力均是沿着结构坐标系的正向作用的。在前面单元分析中，已经保证了各单元本身的平衡和变形连续，因此只需考虑

18、各单元联结处，即各结点处的平衡条件和变形连续条件。,现以结点2为例，由平衡条件Fx=0、Fy=0和M=0，可得,写成矩阵形式,上式左边为结点2的荷载列向量F2，右边两列分别为单元和单元在2端的杆端力列向量F2和F2，故上式可简写为,F2=F2+F2 (b),根据式(9-18)，上述杆端力列向量可用杆端位移列向量来表示,(c),再根据结点处的变形连续条件，应该有,(d),将式(c)和(d)代入(b)，则得到以结点位移表示的结点2的平衡方程,(e),同理，对结点1、3、4都可建立类似的平衡方程。将所有四个结点的方程汇集在一起，就有,(f),写成矩阵形式则为,(g),上式便是用结点位移表示的所有结点

19、的平衡方程，它表明了结点外力与结点位移之间的关系，通常称为结构的原始刚度方程，“原始”之意是指尚未引入支承条件。上式可简写为,F=K (9-19),上式中称为结构的原始刚度矩阵，也称结构的总刚度矩阵 (简称总刚)。它的每个子块都是33阶方阵，故为1212阶方程。其中的每一个元素的物理意义就是当其所在列对应的结点位移分量等于1(其余结点位移分量均为零)时，其所在行对应的结点外力分量的数值。 结构的原始刚度矩阵具有如下性质：,(1) 对称性。原始刚度矩阵是一个对称方阵，这可由反力互等定理得知。 (2) 奇异性。原始刚度矩阵是奇异的，其逆阵不存在。这是由于建立方程式(9-19)时，没有考虑结构的约束

20、条件，结构还可以有任意刚体位移，结点位移的解答不是唯一的。故还不能由式(9-19)来求结点位移，只能在引入支承条件，对结构的原始刚度方程进行修改后，才能求解未知的结点位移，这将在下一节中讨论。 (3) 稀疏性。,直接刚度法。,考察前面式(a)及式(g)可知，结构的原始刚度矩阵是由每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码送入结构刚度矩阵中的相应位置上而形成的。也就是将各单元子块“对号入座”即形成总刚。以单元的四个子块为例，其入座位置如图9-7所示。一般而言，某单刚子块就应被送入总刚(以子块形式表示)中第i行第j列的位置上去。这种利用结构坐标系中的单元刚度矩阵子块对号入座直接形成总刚的方法，称为

21、直接刚度法。,在对号入座时，具有相同下标的各单刚子块，在总刚中被送到同一位置上，各单刚子块要进行叠加，而没有单刚子块送入的位置上则为零子块。位于主对角线上的子块称为主子块；其余子块称为副子块。同交于一个结点上的各杆件称为该结点的相关单元；两个结点之间有杆件直接相联者称为相关结点。则由单刚子块对号入座形成总刚具有如下规律：,(1) 总刚中的主子块 是由结点i的各相关单元的主子块叠加求得的，即 。 (2) 总刚中的副子块 ，当i、m为相关结点时即为联结它们的单元的相应副子块，即 ；当i、m为非相关结点时为零子块，即 =0。,例10-1 试求图10-8所示刚架的原始刚度矩阵。各杆材料及截面均相同，E

22、A=1.5107kN，EI=1.25106kNm2。,解： (1) 将各单元、结点编号，并选取结构坐标系及各单元局部坐标系(图中剪头所示方向为方向，其坐标原点在各杆的始端)如图中所示。各单元始末端的结点编号见下表。,各单元始末端的结点编号,(2) 各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵按式(10-23)计算。将有关数据计算如下,对于单元，=0，sin=0，cos=1，可算得,对于单元和，=90，sin=1，cos=0，可算得,(3) 将各单刚子块对号入座形成总刚,支承条件的引入,上节中建立的图所示结构的原始刚度方程式(g)并没有考虑支承条件，结构还可以有任意的刚体位移，所以原始刚度矩阵是奇异的，其

23、逆矩阵不存在，因而不能由式(g)来求解结点位移。,在式(g)中F2、F3是已知的结点荷载，与之相应的2、3是待求的未知结点位移；而F1、F4是未知的支座反力，与之相应的1、4是已知的结点位移。因结点1、4均为固定端，故支承条件为,1=4=0 (9-20),代入式(g)，由矩阵乘法运算可得,和,式(9-21)即为引入支承条件后的结构刚度方程，亦即位移法的典型方程，可简写为,(9-21),(9-22),(9-23),其中 是已知结点荷载列向量， 是未知结点位移列向量， 是从原始刚度矩阵中删去与已知为零的位移对应的行和列而得的，称为结构的刚度矩阵，或称为缩减的总刚。,原结构在引入支承条件后便消除了任

24、意刚体位移，因而结构刚度矩阵为非奇异矩阵，则可由式(9-23)求解未知的结点位移，即,求出结点位移后，便可由单元刚度矩阵计算各单元的杆端内力。将式(9-13)中的杆端位移e改为用单元两端的结点位移e来表示，整体坐标系中的杆端力计算式为,再由式（9-9）可求得局部坐标系中的杆端力,或者由式（9-12）可求得局部坐标系中的杆端位移,再由式（9-2）可求得局部坐标系中的杆端力,当求出未知的结点位移后，还可以利用式(9-22)计算支座反力。不过在全部杆件的内力求出后，一般无需再求反力，即使要求也可由结点平衡很容易求得，故一般不用该式求反力。,非结点荷载的处理,结构上受到的荷载，按其作用位置的不同可分为两类：一类直接作用在结点上的称为结点荷载；另一类作用在结点之间的杆件上的称为非结点荷载。非结点荷载不能直接用于结构矩阵分析。但实际问题中所遇到的大部分荷载又是非结点荷载。因此，在结构矩阵分析中，必须将非结点荷载处理为结点荷载，将其与结点荷载一并形成结构荷载列向量。,1等效结点荷载,图所示刚架，受有非结点荷载，可按以下两步来处理。 (1) 在具有结点位移的结点上加入附加刚臂和附加链杆以阻止所有结点的转动和移动，此时各单元将产生固端力，附加刚臂和附加链杆上产生附加反力矩和反力。由结点的