圆的一般方程.(课堂PPT)

1、1,4.1.2 圆的一般方程,2,圆的标准方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圆心与半径,复习,3,x2 y 2DxEyF0,由于a, b, r均为常数,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式,动动手,4,1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲线是圆呢？,思考,下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.,5,将,左边配方，得,（1）当,时,它表示以,为圆心,以,为半径的圆;,D2+E2-4F0,6,(2)当D2E24F0时，方程表示一个点 ；,(3

2、)当D2E24F0时，方程无实数解,不表示任何图形,所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程,7,圆的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,圆的一般方程与标准方程的关系：,(D2+E2-4F0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,8,例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径,(1) x2+y2-2x+4y-4=0,(2) 2x2+2y2-12x+4y=0,(3) x2+2y2-6x+4y-1=0,(4) x2+y2-12x+6

3、y+50=0,(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0,是,圆心（1，-2）半径3,是,圆心（3，-1）半径,不是,不是,不是,9,已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是,练习,10,下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、 半径.,a,例2：,11,(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:,一般方程,标准方程,小结一:,12,典例精析,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,几何方法,方法一：,y,x,M1(

4、1,1),M2(4,2),0,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点的距离,13,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,待定系数法,方法二：,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,14,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,解：设所求圆的一般方程为：,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系数法,方法三：,15,小结二,(特殊情况时,可借助图象求解更简单),注意:

5、求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.,16,例2.已知一圆过p(4 ,-2) .Q(-1 ,3)两点，且在y轴上截到的线段长为4 ，求圆的方程。,解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令x=0, 得 y2+Ey+F=0 又|y1-y2|=4 (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 将P ,Q两点的坐标代入得：,4D-2E+F=0 D-3E-F=0 ,由 得:D=-2 ,E=0 ,F=-12 或D=-10 ,E=-8

6、,F=-4,17,例3. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.,举例,直接法,18,练习： 已知点P在圆C： 上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。,19,练习：, 点P(3 ,0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点，求过点P的最短弦所在直线方程。 圆C: x2+y2+2x+4y-3=0到直线x+y+1=0的距离为 的点有几个？ 圆x2+y2-4x+2y+F=0与y轴交于A B两点，圆心为C.若ACB=900 ,求F. 已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求该圆半径r的取值范围。,20,1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(用配方法求解),3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),小结,21,几何方法,求圆心坐标 （两条直线的交点）