平衡态的经典统计分布.ppt

1、要深入研究气体的性质，不能仅仅研究一些平均值，如,还应该进一步弄清分子按速率、按能量等的分布情况。,麦克斯韦,单个分子运动完全是偶然的，但大量分子的整体服从统计规律。,12-3-1 速率分布函数 12-3-2 麦克斯韦速率分布律 12-3-3 玻尔兹曼分布律（自学）,12-3 平衡态的经典统计分布, ,尽管单个小球落入哪个狭槽是偶然的，少量小球按狭槽的分布情况也带有明显的偶然性，但大量小球按狭槽的分布情况则是确定的。,一、伽尔顿板实验,随堂演示实验,小球数目较少时，每次所得曲线彼此有显著的差别；但当小球的数目较多时，每次得到的分布曲线彼此近似重合。,大量小球整体按狭槽的分布遵守一定的统计规律。

2、,大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。但统计规律永远伴随涨落现象。一次投入大量小球落入某个槽中的小球数具有一个稳定的平均值，而每次实验结果都有差异。,槽内小球数量少，涨落现象明显。反之，槽内的小球数量多时涨落现象不明显。在一定的宏观条件下，大量小球运动的各种分布在一定的平均值上、下起伏变化，称为涨落现象。, 统计规律只适用于大量偶然事件在宏观上所体现出来的规律性，只适用于大量随机事件 。 统计规律是与单个粒子遵循的力学规律有着本质区别，它不是单个粒子力学规律的叠加，而是大量偶然事件在整体效果上的一种必然规律，表现出一定的宏观稳定性。 统计规律与系统所处的条件有关例如在伽耳顿板中，如果依

3、次改变漏斗口位置、铁钉分布，则对应的分布曲线将随之改变但不管系统所处条件怎样改变，足够多的小球在小槽内的分布都服从一定的统计规律性 统计规律总伴随有 “涨落”。所谓涨落是指实际值偏离平均值的现象。构成整体的个别事件越少，涨落现象越明显。,统计规律的特征,特征一:,混乱性和无序性,二、分子热运动的基本特征,永恒的运动；频繁的碰撞,特征二: 在分子热运动中，个别分子的运动（在动力学支配下），存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。,特征三:,永远伴随着涨落现象。,N,1. dN/N 是v的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。,dN,dN/N,2. 速率区间足够小时（宏

4、观小，微观大），dN/N 还应与区间大小成正比。,说明：,表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数,表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）。,一定量的气体分子总数,描述气体分子按速率的分布情况,12-3-1 速率分布函数,因此有:,物理意义：在速率v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。,f(v):速率分布函数,或,速率分布函数满足的归一化条件,速率分布函数,曲线下的总面积=1,物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率,分布在速率v1v2 速率间隔的分子数占总分子数的概率,分布在速率v v+dv 速率间隔的分子数占总分子数的概率,速率分布函数

5、f(v) -分子分布在速率v 附近单位速率间隔的分子数占总分子数的概率。,分布在速率v v+dv 速率间隔的分子数,分布在速率v1v2 速率间隔的分子数,分子的平均速率：,所以：,同理,分子的速率平方的平均值：,规律：任意v 的函数(v)对全体分子的平均值都可以用速率分布函数由右式求得：,在 范围内的分子的平均速率？,在 范围内分子的数量,麦克斯韦,1859年,麦克斯韦（Maxwell）导出了理想气体在,无外场的平衡态（T）下，,分子速率分布函数：,12-2-2 麦克斯韦速率分布律,14,詹姆斯克拉克麦克斯韦 (James Clerk Maxwell 1831-1879),19世纪伟大的英国物

6、理学家、数学家。,麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究，尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。他预言了电磁波的存在，这种理论预见后来得到了充分的实验验证。造福于人类的无线电技术，就是以电磁场理论为基础发展起来的。,曲线下的总面积:,归一化条件!,一、麦克斯韦速率分布函数,麦克斯韦速率分布条件:平衡态 理想气体,1、平均速率,二、三种统计速率,一般用于计算分子运动的平均距离,2.方均根速率,方均根速率可用来计算分子平均动能,Matlab应用,syms x int(exp(-

7、x2)*x3,0,inf),1/2,syms x int(exp(-x2)*x4,0,inf),3*pi(1/2)/8,最概然速率对应分布函数的极大值,最概然速率用于讨论分子速率分布,3、最概然速率,令,1. 最概然速率vp,2. 不同温度下的速率分布曲线,3. 不同的气体质量下的速率分布曲线,73K,1273K,273K,同一种气体,同一个温度,分布在速率vp-vp+dv速率间隔的分子数占总分子数的比率最大。,麦克斯韦速率分布曲线的特点:,问题:速率恰好为某确定速率v0的分子有多少？,t =L/v = /, v = L /,三、分子速率分布的实验测定,通过改变可获得不同速率区间的分子。,只有

8、满足此条件的分子才能同时通过两缝。,1956年， Miller和Kusch用钍蒸气的原子射线实验验证了麦氏速率分布率,例1:求气体分子速率小于vp的分子数占分子总数的百分比。,解:,%,与T无关！,function wuli() %麦克斯韦速率分布计算 clc; p=quadl(gl,0,1) function y=gl(x) y=4*x.2.*exp(-x.2)/sqrt(pi);,Matlab应用,求.,1. k =？,由归一化条件,例4：,?,.,=,-,1,1,16,1,0,5,v,v,，则,之间的粒子数占总粒子数的,若,考虑分子间的相互作用及其所受重力等外力，将,代之以 E=Ek+Ep, 玻耳兹曼计算得到,在速度间隔,空间间隔,内的分子数为,12-2-3 玻耳兹曼分布律,n0表示在Ep=0处单位体积内具有各种速度值的总分子数,概率因子:,说明分子优先占据能量较低的状态.,由于:,因此玻耳兹曼分布可写成如下常用形式,表明粒子数如何按位置分布,一、玻耳兹曼分布律,热运动使分子趋于均匀分布, 而重力使之位于低处,在重力加速度可以认为不变的范围,取 z =0为势能零点, z 轴向上为正,