高数微积分中值定理.ppt

1、1,微分中值定理与导数的应用,第 3 章,2,第一节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,3,1.函数极值的定义,4,定义:,5,注： （1）极值的概念是局部性的 （2）有的极大值可能比极小值还小 （3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处 导数为零。 但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得 极值，例如图中的 点处,6,2. 费马(fermat)引理,且,存在,证: 设,则,证毕,存在,7,3. 驻点：导数等于零的点。,注： （1）极值点要么是驻点，要么是不可导点 （2）驻点不一定是极值点,费马引理的几

2、何意义：,8,一、罗尔(Rolle)定理,9,几何解释:,例如,10,证,11,注意:,定理条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,12,例,证,(1),(2),验证定理的假设条件满足,验证结论正确,验证罗尔定理的正确性.,13,13,例,试证方程,分析,注意到:,14,14,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,15,例,证:,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,16,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,17,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,18,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,19

3、,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,20,推论,证: 在 I 上任取两点,氏中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,21,例,证,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,22,例. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,或,23,三、柯西(Cauchy)中值定理,24,几何解释:,分析:,要证,25,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,26,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,2

4、7,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：,28,例：,证：,分析:,结论可变形为,29,罗尔 定理,拉格朗日 中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,30,应用三个中值定理常解决下列问题,(1) 验证定理的正确性;,(2) 证明方程根的存在性;,(3) 引入辅助函数证明等式;,(4) 证明不等式;,(5) 综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数（原函数）,31

5、,例,分析,将结论交叉相乘得,辅助函数F(x),试证明:,32,或将结论交叉相乘得,换成,辅助函数F(x),33,证,设辅助函数,因此F(x)满足Rolle定理的条件.,34,即,得,证毕.,35,练习,分析,即证,要证,证明:,对任意的实数k,设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且,36,证,即,证明:,对任意的实数k,设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且,由Rolle定理,37,试证必存在,设函数 f (x)在0, 3上连续,在(0, 3)内可导,证,因为 f (x)在0, 3上连续,且在0, 2上必有最大值M和最小值m,于是,故,由介值定理知,至

6、少存在一点,使,所以f (x)在0, 2上连续,且 f (x)在c, 3上连续,在(c, 3)内可导,所以由Rolle定理知,必存在,以下4题目较难,38,试证: 存在,设函数 f (x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内,证,设f (x), g(x)在(a, b)内最大值M分别在,取得.,由零点定理, 至少介于,使得,具有二阶导数且存在相等的最大值,令,则,使得,再由罗尔定理, 存在,使得,即,39,(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在,a, b上连续, 在(a, b)内可导, 则存在,(2) 证明:,证 (1),取,由题意知F(x)在a, b上连续,在(a, b)内可导, 且,40,由Rolle定理,即,41,(2) 证明:,证 (2),对于任意的,函数 f (x)在0, t上,由右导数定义及拉格朗日中,上连续,在(0, t)内可导,值定理,所以,42,例. 试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理 .,则 f (x) , g(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,43,例. 试证至少存在一点,使,法2 令,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,44,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗