《数字电子技术基础》第五版 阎石第02章 逻辑代数基础(1).ppt

1、第2章 逻辑代数基础,2.1 概述,基本概念 逻辑： 事物的因果关系 逻辑运算的数学基础： 逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值： 0、1,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,与（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A(B)=1表示开关A(B)合上， A(B) =0表示开关A(B)断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：,与,条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = A&B=AB=AB,或,条件之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B,非,条件不具备，结果发生,几种常用的复合逻辑运算,与非,几种常用的复合逻辑运算,或非,几种常用的复合逻辑运算,与或非,真值

2、表？,几种常用的复合逻辑运算,异或 Y= A B 相同为0，不同为1,=AB+AB,几种常用的复合逻辑运算,同或 Y= A B 相同为1，不同为0,=AB+AB,2.3.1 基本公式 2.3.2 常用公式,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式,公式（17）的证明（公式推演法）：,A + B C = (A +B)(A +C),公式（17）的证明（真值表法）：,A + B C = (A +B)(A +C),证明公式（8）和（18）德.摩根定律,（8） (A B) = A + B,（18） (A+ B) = AB,2.3.2 若

3、干常用公式,证明公式（5）,证：左边= A B + AC + B C （ A + A） = A B + AC + A B C + AB C = A B （1+ C ）+ AC（1+B） = A B + AC,A B + AC + B C = A B + AC,引出冗余定理：若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。,推论：A B + A C + B C D= A B + AC,上次课内容回顾：,二进制运算 原码、反码、补码 三种基本逻辑关系:与 或 非 常用复合逻辑关系 基本逻辑公式和常用逻辑公式,2.4 逻辑代数的基本

4、定理,2.4.1 代入定理 -在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。,2.4.1 代入定理,应用举例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D),2.4.1 代入定理,应用举例： 基本逻辑公式 （8）,2.4 逻辑代数的基本定理,2.4.2 反演定理 -对任一逻辑式求反,变换顺序： 先括号，然后“乘”，最后“加” 注意事项：不属于单个变量上的反号保留不变,2.4.2 反演定理,应用举例：,2.4.3 对偶定理,对偶式：YD,例如：,对偶定理：若两个逻辑式相等，则它们

5、的对偶式也相等。因此，为证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成。（基本公式两两对偶）,回顾冗余定理：,A B + A C + B C = A B + A C A B A C + B CD = A B + A C A B A C + B CD. = A B + A C 对偶式： (A+ B)( A +C )( B+ C) = (A+ B)( A +C) 也含有可以消去的冗余项！,小结,至此，我们定义了五种逻辑符号 ：0、1、与、或、非，确立了基本定律（基本公式）和常用公式，介绍了三种基本规则，它们构成了整个逻辑代数的基础。任何逻辑问题均可用它们来描述、推导和变换，这些都是学习数字

6、逻辑电路最起码的基础知识。,2.5.1 逻辑函数 Y=F(A,B,C,) -若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。 注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。,2.5 逻辑函数及其表示形式,2.5.2 逻辑函数的表示方法,真值表 逻辑式 逻辑图 波形图 卡诺图 计算机软件中的描述方式 各种表示方法之间可以相互转换,真值表,逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。,波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列

7、起来画成时间波形。,卡诺图 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF DTIF 。,举例：举重裁判电路,各种表现形式的相互转换：,真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表 A=0,B=1,C=1使 ABC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0使 ABC =1 这三种取值的任何一种都使Y=1, 所以 Y= ?,真值表 逻辑式： 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 每组输入变量取值对应一个乘积

8、项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。 将这些变量相加即得 Y。 反之：把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表,练习：将“异或”和“同或”用与、或、非三种基本逻辑运算表示？,逻辑式 逻辑图 1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。,逻辑式 逻辑图 1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,2.5.3 逻辑函数常用表达式形式及转换：,（1）与或式或与式,公式（17） A + B C = (A +B)(A +C) 分配率,逻辑表达式常用形式有：与或式、或与式、 与非式、或非式、与或非式。,解：,（2）与或式与非式

9、,（3）与或式或非式,解：,解：,（4）与或式与或非式,解：,2.5.4 逻辑函数表达式的标准形式,1.最小项的定义 在一个逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。全部变量以原变量或反变量的形式在乘积项中出现且仅出现一次。 对于1个变量A来说，最小项有两个：A 、A 对于2个变量A、B来说，最小项有四个： A B、A B、A B 、A B 对于n个变量来说，逻辑函数最小项个数为2n,三变量最小项编号方法（简化书写方式）,2. 最小项性质：,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留

10、下公共因子。 -相邻：仅一个变量不同的最小项 如,对于n个变量的逻辑函数，每个最小项有n个相邻项 如，ABC ,相邻项？,3.最小项标准表达式,由最小项组成的与或逻辑表达式，称为标准与或表达式，也称为最小项标准表达式。,从函数真值表中可以直接写出最小项标准表达式,例：由真值表写出下面函数 的最小项标准表达式,由真值表写出所有使F的值为1的最小项,2.6 逻辑函数化简,2.6.1 与或式最简的标准 两个最少原则 （1）与项个数最少； （2）每个与项中变量个数最少。 这样，电路简单，实现容易，故障率低。 常用化简方法： 代数法、卡诺图法,2.6.2 代数法化简逻辑函数,1. 利用公式 AB+A B

11、=B 可以将函数的两个与项合并,例：,2.吸收法： 利用公式 A+AB=A 吸收多余项,例：,3. 消去法： 利用公式A+ A B =A+B或 A + A B = A +B 消去某项的多余因子,例：,证明：,4.消项法：利用多余项定理 AB+ A C +BC=AB+ A C 消去多余项BC,例：,5.配项法：利用公式 A+A=A A+ A =1 A A =0 给某些逻辑函数适当增加某些项，进而消去原来函数的某些项，以达到化简的目的。,例：,6.综合举例：,2.6.3 卡诺图法化简逻辑函数,一、卡诺图 1.卡诺图 有n个变量的逻辑函数共有2n个最小项，如果把每个最小项用一个小方格表示，再将这些小

12、方格以循环码顺序 排列（即相邻项按位置相邻排列），就可以构成n个变量的卡诺图。,（1）2变量卡诺图画法：,2个变量的逻辑函数共有4个最小项，需4个小方格,3个变量的逻辑函数共有8个最小项，需8个小方格 注意：对称于中心线的小方格，也是相邻项,（2）3变量卡诺图画法：,4个变量的逻辑函数共有16个最小项，需16个小方格 注意：对称于中心线的小方格，也是相邻项,（3）4变量卡诺图画法：,2. 将一般与或式表示成卡诺图的方法,方法一： （1）将一般与或式表示成最小项与或式 （2）把表达式中出现的最小项对应方格填1，其它填0,A,B,C,例：,方法二：观察法,3.由卡诺图求逻辑函数,例：,4.由卡诺图

13、求逻辑函数的反函数 将卡诺图中值为0的最小项写成与或式即可,二、卡诺图法化简,1. 卡诺图法化简的依据 基本原理：具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。 如：3变量卡诺图2个相邻项,3变量卡诺图4个相邻项,2. 卡诺图法化简步骤与原则,（1）用卡诺图表示逻辑函数； （2）以2n个相邻“1”方格画圈合并最小项，将每个圈所统辖的公共变量写成“与”项； 注意“两个最少”原则： 变量最少原则：使函数中每个与项变量最少 与项最少原则：使函数中包含的与项最少 （3）将每个“与项”相“或”便得到简化函数式,3.举例,例1.化简函数,解： 填写函数的卡诺图,A,B,D,C,A,B,D,C,3.举例,例

14、1.化简函数,解： 填写函数的卡诺图,按两个最少原则画圈,3.举例,例1.化简函数,解： 填写函数的卡诺图,按两个最少原则画圈,写出卡诺圈的与项,CD、BD、ABD,将与项相“或”得化简结果,F=CD+BD+ABD,例2.用卡诺图法化简函数,解：,A,B,D,C,A,B,D,C,注意1：每个卡诺圈至少要包含一个没有被画过的1。,多余的卡诺圈,例3. 用卡诺图化简 为最简与或式,A,B,D,C,哪个是对的？,正确,错误,注意2：在其它条件满足情况下，一个1可以属于多个卡诺圈。,例4. 用卡诺图化简 为最简与或式,A,B,D,C,正确,错误,例5.用卡诺图化简函数为最简与或式,正确,错误,例6.用

15、卡诺图化简函数为与或式,解：先求函数的对偶式,用卡诺图法化简对偶式,A,B,D,C,例6.化简函数为最简与或式,解：先求函数的对偶式,用卡诺图法化简对偶式,A,B,D,C,写出对偶式的最简式：,则原函数最简式为：,例7.化简函数为“与或式”及“或与式”。,解：求与或式,A,B,C,例7.化简函数为“与或式”及“或与式”。,解：求与或式,A,B,C,求或与式,圈0，写出F反函数的与或式，再取反,对上式求反,注意3：可以通过卡诺图求反函数，也可以求或与式。,2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,1.约束项 例：有三个逻辑变量A、B、C，分别表示一台电动

16、机的正转、反转和停止命令, A=1正转，B=1反转，C=1停止 于是，逻辑函数可以写成：,电动机在某一时刻只能处在其中一种状态，因此， A、B、C是一组具有约束的变量。,约束条件：,或写成：,将这些恒等于0的最小项称为函数Y1 Y2 Y3的约束项。,在存在约束项的逻辑函数中，即可以将约束项写入 逻辑函数式中，也可以将约束项从逻辑函数式中去掉， 而不影响函数值。,2.任意项 例：对上例电路的设计，使其当A、B、C三个逻辑量同时为0或出现两个以上同时为1时，电路能自动切断供电电源。 那么，当出现上述情况时， Y1 Y2 Y3的取值是1或是0都无关紧要，电路都会自动断电，使电动机停止运行。 假设，A=1 B=1 C=1，则ABC=1,Y1=ABC+ABC=1 Y1=ABC=0,上面两种情况（加入或去掉ABC项）都是可以的， 这时把最小项ABC称为逻辑函数Y1的任意项。,3.无关项 约束项和任意项统称为逻辑函数的无关项。 输入逻辑变量的某些取值组合禁止出现，或不可能出现，或一些取值组合出现时，输出的逻辑值可以是任意的，即可以是0，也可以是1，