概率论与数理统计第4讲.ppt

1、条件概率 乘法定理 全概率公式和贝叶斯公式 例题详解 小结,第五节 条件概率,1、定义：,一、条件概率,2、条件概率的性质：,条件概率也是概率, 故具有概率的性质。,说明： 第三节中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。,例如：,2)直接法： 在缩减的样本空间中直接计算P(A|B)。,3、条件概率的两种计算方法,1) 用定义计算:,先计算P(B),P(AB),然后按定义计算,例1. 设在一只盒子中混有新旧两种乒乓球,在新乒乓球中有白色的40只,红色的30只；在旧乒乓球中有白色的20个，红色的10个. 现从盒子中任取一球,发现是新的,问这个球是白色的概率是多少？,解：设 A=“取出的球是新

2、球”， B=“取出的球是白色的”。 要求 P(B|A)。 （1） 直接算：P(B|A)=40/70=4/7; （2） 由定义，得：,y,例2：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,解： 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,所以,则所求概率是 （而不是 ！）.,y,二、乘法定理,由条件概率的定义,我们得,1）两个事件的乘法公式：,推广：三个事件的乘法公式：,2）一般，n个事件的乘法公式,这就是n个事件的乘法公式,例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白

3、球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率,则,由乘法公式，我们有,解：,y,例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率,y,三、全概率公式和贝叶斯公式,1. 样本空间的划分的定义（完备事件组）,注: (1) 若A1,A2,An是样本空间S的一个划分,则每次试验中, 事件A1, A2, , An中必有一个且仅有一个发生。,2.全概率公式,全概率公式,定义：,证明：因为,全概率公式的使用：,我们把事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已

4、知,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,由因求果,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,还可以从另一个角度去理解,由原因推结果,说明： 全概率公式的理论和实用意义在于:在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,在较复杂情况下直接 计算P(B)不易,但B总 是伴随着某个Ai出现, 适当地去构

5、造这一组 Ai往往可以简化计算.,化整为零,各个击破.,例4：某种产品的商标是“MAXAM”，其中有两个 字母脱落，有人拣起随意放回，求放回后仍 为“MAXAM”的概率？,解析：,A1=脱落的两个字母相同； A2=脱落的两个字母不相同； A=放回后仍为“MAXAM”,y,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,例如：某人已经发烧（结果已知）， 问何种原因引起的发烧？,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各 原因发生的可能性大小接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式,在全概率公式的假定之下，有,3.贝叶斯（Bayes）公式,称此为贝叶斯公式.,

6、该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.它所求的是条件概率。,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,Bayes公式的理解和使用：,我们把事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已

7、知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,执果寻因,例5 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,解：,由Bayes公式，得,y,例5 用某种方法普查肝癌，设： A= 用此方法判断被检查者患有肝癌 ， D= 被检查者确实患有肝癌 ， 已知,现有一人用此法检验患有肝癌,求此人真正患有肝癌的概率,称 P(D | A) 为后验概率，它是得到了信息 A 发生, 再对导致 A 发生的原因发生的 可能性大小重新加以修正.,称 P( D ) 为先验概率，它是

8、由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因.,例6. 每箱产品有10件,其中的次品数从0到2是等可能的.开箱试验时,从中一次抽取2件（不重复）,如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算：,（1）一箱产品通过验收的概率； （2）已知该箱产品通过验收，则该箱中有2个次品的概率。,解：设Ai =“箱内有i件次品”,i=0,1,2. B= “该箱产品通过验收”.,y,（1）一箱产品通过验收的概率；,y,(2)已知该箱产品通过验收,则该箱中有2个次品的概率。,y,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,四、小结y,乘法定理,3.乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。,第

9、六节 独立性,事件的相互独立性 几个重要定理 例题讲解 小结,一、事件的相互独立性,(一) 两个事件的独立性,由条件概率，知,一般地，,这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.,然而，在有些情形下又会出现：,则有,1.引例,定义1:,说明,事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,事件独立性的性质(结论),1,2 独立与互斥的关系,这是两个不同的概念.,两事件相互独立,独立是事件间的概率属性,两事件互斥,互斥是事件间本身的关系,二者之间没有必然联系.,结论：,A,B互不相容与A,B相互独立不能同时成立.,证,若A与B 独立, 则,即 A与B 不互斥(相容).,反例：,两事件相互独立.,所以两事件互斥,3,必然事件S 及不可能事件与任何事件A相互独立.,证, S A=A, P(S)=1, P(S A) = P(A)=1 P(A)= P(S) P(A),即 S与A独立.,4 若事件A与B 相互独立, 则以下三对事件 也相互独立.,注:称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.,4 若事件A与B 相互独立, 则以下三对事