《奇偶性》课件2.ppt

1、函数的奇偶性,“对称”是大自然的一种美,问题探究,1.已知函数f(x)=x2，求f(-2)，f(2)， f(-1)，f(1)，及f(-x) ，并画出它的图象,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2),f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1),f(-x)=(-x)2=x2 f(-x)=f(x),思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？,2.已知f(x)=x3，画出它的图象，并求出f(-2)，f(2)，,解:f(-1)，f(1)及f(-x),f(-2)=(-2)3=-8， f (2)=8 f(-2)= -

2、f(2),f(-1)=(-1)3=-1， f(1)=1 f(-1)= - f(1),f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x),思考 : 通过练习，你发现了什么规律？,(-x，-y),(x，y),偶函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=f (x),图像特征:关于y轴对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).,1. 偶函数的概念,奇函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=-f (x),图像特征:关于原点对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f

3、(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).,2.奇函数的概念,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数， 则f(-x)=f(x)成立.若f(x)为偶函数， 则f(-x)= f(x) 成立.,(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称，即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,注意事项,注意：,(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；而函数的单调性是函数的局部性质.,(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个

4、必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称),(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,(4)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.,课外例题1.判断下列函数的奇偶性,非奇非偶. 定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数.,课外例题2.判断下列函数的奇偶性,(1)(2)(3) 既奇又偶函数，(4) 偶函数. 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数，而零

5、函数既是奇函数又是偶函数.,3.奇偶函数图象的性质；,(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数,奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画法，,(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.,练习1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x；,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),= - f(x)，,f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,函数定义域为R,解:,函数

6、定义域为R,= f(x)，,巩固双基,(2) f(x)=2x4+3x2；,解:函数定义域为R,f(x)为奇函数,有既奇又偶的函数来吗？,解:函数定义域为 0 ，+) 定义域不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数,(6) f(x)=x+1,解:函数f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， f(x)为既奇又偶函数,(5)f(x)=0 (xR),根据奇偶性， 函数可划分为四类:,奇函数；偶函数； 既奇又偶函数； 非奇非偶函数.,解:函数定义域为R f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1， f(-x)f(x)，且f(-x) f(x). f(x)为

7、非奇非偶函数.,判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； 若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数. 若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步； (2)计算f(x)化向 f ( x ) 的解析式； 若等于 f ( x )，则函数是偶函数， 若等于f ( x )，则函数是奇函数， 若不等于 ，则函数是非奇非偶函数 (3)结论.,有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1.,练习2.判断下列函数的奇偶性,f(x)为奇函数.,解:定义域为x|x0，,即 f(-x)= - f(x)，,(3)f(x)=5,解:f(x)的定义域为R. f(-x)=f(x)=5,f(x)为偶函数.,f(x)既是偶函数， 又是奇函数.,解:函数的定义域为-1，1，,复习回顾,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ， 如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.