第二讲_光线的传播与高斯光束.ppt

1、激光原理,第二章 光线的传播与高斯光束,激光原理,符号规则,1.通过厚度为L的均匀介质,2.通过不同介质的介面（平面）,3.通过焦距为f的薄透镜,f0，相对于凸透镜 f0，相对于凹透镜,4.通过球面反射镜,（1）R0,凹面反射镜 （2）R0,凸面反射镜 （3）R趋于无穷,单位矩阵,一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当于一个焦距f=R/2的薄透镜,5.球面介面,二.光线通过双周期透镜波导序列,由焦距为f1和f2的透镜相距间隔为d，周期性排列而成,现实意义：等效为高斯光束（激光）在焦距为f1和f2的两反射镜组成的光学谐振腔中的传输,因此：,同样的：NS+1,因此，平面S与S+1之间的光线参

2、数关系有：,当光线通过复杂光学系统时，光线矩阵为各个光学元件光线矩阵相乘，乘法的顺序与光线传播的方向相反,由递推关系：,该式为一个决定光线穿过透镜波导的演进情形的差分方程,解此差分方程得：,方程的通解即为以上两个解的线性叠加，也可写为,，,讨论： （1） ， 为实角，光线在该透镜序列中传播时是稳定的 （2） ，光线在该透镜序列中传播时是不稳定的,三、相同透镜波导（ f1f2） ：,四、光线在反射镜之间的传播 ：,z,Xn,O,Xn+1,Yn,Yn+1,掌握： 1、光线矩阵的分析方法 2、几种典型光学元件的光线矩阵 3、复杂光学系统的光线矩阵 4、双周期透镜波导的定义和物理意义 5、双周期透镜波

3、导的稳定性条件 6、光纤在两反射镜之间传播的稳定性条件,五、光线在类透镜介质中的传播,1. 薄透镜的聚焦机理,离轴距离为r的相位提前量为,经过透镜后的光场,平面波，经过薄透镜，产生一个与离轴距离r2成正比的相位提前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量，到达焦点时间、相位相同，实现聚焦,2. 类透镜介质,轴线上的折射率 轴线上的波数 与介质有关的常数（与工作状态也有关系）,定义：某种介质折射率满足,研究类透镜介质的实际意义？,3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播,程函方程（几何光学中的基本方程）,光线的传播方向，就是 变化最快的方向,在讨论光线和几何光学的强度时，可以推

4、导出：,光线的微分方程（光线方程）,为空间位置矢量， 为光线传播方向,（2）非均匀介质， 必须采用光线方程进行分析,4、在类透镜介质中的传播,考虑近轴光线,在二次折射率介质（或类透镜介质）中，折射率没有轴向分布，仅有径向分布,光线在x方向和y方向的变化是相同的,X,y都是独立变量,为了简化，可以取yz平面上的光线讨论，并以r代替y,近轴光线的微分方程,1) K20,此时的光线矩阵,结论：二次变折射率介质，对光线传播的作用相当于透镜一样，使光线改变方向,在介质中传播的光线在 和 之间振荡,a, K20,z增加，r(z)增加，因而具有发散性，起到负透镜的作用,思考： 1、K20的情况； 2、k20

5、时对光线起到汇聚的作用，推导聚焦点的位置； 3、比较光线在透镜波导和在二次折射率介质中，其传播问题的处理方法及结果的异同。,2.2光束在均匀介质中的传输,目的：从二次折射率介质中的波动方程出发，推导出激光的特征光束形式高斯光束，并讨论其传输特性。（包括腔内、腔外、各种光学元件）,一、二次折射率介质中的波动方程 1、在各项同性、无电荷的介质中，麦克斯韦方程组如下：,设折射率n（x，y）的空间分布之变化很小（缓慢变化）,分离变量,关于传播常数K的讨论,（1）在激光中，如果考虑到介质中可能存在光的增益或吸收，我们将K取做复数形式,（2）K(r)具有以下函数规律,设 为z向传播的电磁波，其横向分布仅与

6、r有关,取 具有下面的形式，并代入波动方程：,2、二次折射率介质的波动方程之解,近似的平面波,是对平面波的修正函数，包括振幅修正和相位修正,如果方程对任何r都成立，则系数均为0,这就是二次折射率介质中的简化形式的波动方程，亦即激光介质中的波动方程。,二. 均匀介质中的基本高斯光束 K20,引入中间函数S，令,当选择了 为纯虚数时，就可以导出物理上有意义的波，这种波的能量集中在z轴附近。,设 为纯虚数，并引入一个新的常数,基本高斯光束解 只考虑了随r作变化的横向分布，不考虑更为复杂的与方位角有关的解,轴线上的波数,基模高斯光束特性,(1)场的振幅分布,在z截面上，振幅是按照高斯函数的规律变化，在

7、轴线上有最大值。,定义：在光束截面内，振幅下降到中心的1/e时，离轴的距离r为该处的光斑尺寸或光斑半径， 因此 即为z截面上的光斑半径。,光斑最小的位置为束腰，其尺寸为,(2)场的相位分布,基模高斯光束的等相位面的曲率半径为,当 时， 当 时， 有极小值，该极小值为 当 时，高斯光束的波面才能看成是中心位于原点的球面,1. 远场发散角 (全角) 定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角,(3)高斯光束的远场发散角,三、高斯光束的变换ABCD法则,1、类透镜介质中的基本高斯光束,同样引入中间函数S，代入,取 为纯虚数，那么 可以取下面的形式,表明了初始值与z处的光束参数之间的关系,称为复数光束半径,与

8、类透镜介质的光线矩阵进行比较,按照光线矩阵的规则,上式就是高斯光束q参数的变换法则（ABCD法则），对于其他光学元件的光线矩阵，可以看作类透镜光线矩阵的特殊情况。,1、ABCD法则不同于矩阵乘法 2、高斯光束变换后仍是高斯光束 3、可推广到各种光学元件,2、ABCD法则,由 决定了光束的光斑尺寸 和波前的曲率半径 ，也就决定了整个高斯光束的模式，所以其变换法则代表高斯光束的变换法则,应用举例1：高斯光束通过薄透镜,f,q1,q2,（1）薄透镜的光线矩阵是,（2）应用ABCD法则,由于,代入,应用举例2：高斯光束依次通过两个光学元件,ABCD法则最大功效是当高斯光束通过成 像系统的复杂序列后，能

9、够很快的找出高 斯光束的束参数。,三、高斯光束在透镜波导中的传输,1、透镜波导中的变换矩阵,光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S1面和第1面的光线矩阵是,经过数学归纳法，可得到,2、光束参数变换法则,3、高斯光束通过透镜序列的稳定性条件,要得到 有有限解，必须 为实数，也就是,实际意义：ABCD法则是激光束在谐振腔两个反射镜之间往返S次的光束参数变换法则,四、均匀介质中传播的高阶高斯光束,如果考虑方位角的变化,代入波动方程，分离变量后解得：,其解为厄米多项式,所以总的解为,仍为基本高斯光束解,本征值,那么电场的横向变化,模式：在激光中，将光学谐振腔内可

10、能存在的电磁场的本征态称为腔的模式 横模：光场横向的稳定分布，以TEM表示 纵模：光场纵向的稳定分布（沿着光的传播方向）,2.3高斯光束的变换,一、高斯光束的基本性质,1、基模高斯光束,式中的重要参数：,2、高斯光束在自由空间的传输,a. 基模高斯光束在横截面内的振幅分布按照高斯分布,由振幅降落到中心值1/e处所定义的光斑半径为,光斑半径随坐标z按照双曲线规律扩展,描述高斯光束在点(x,y,z)处相对于原点(0,0,0)处的相位滞后。其中，kz描述 几何相移， 描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附 加相位超前，高斯光束的等相位面是以R为半径的球面。,c. 远场发散角,高斯光束在其传输轴线附近可近似看做是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。,3. 高斯光束的特征参数,a. 用参数 及束腰位置来表征,c. 用q 参数来表征,b. 用参数 来表征,球面波通过薄透镜的变换,高斯光束通过薄透镜的变换,二、高斯光束通过薄透镜时的变换,（1）写