高二上期末数学试卷(及答案)

1、高二上期末数学试卷(及答案)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1直线xy+a=0（ar，a为常数）的倾斜角是2命题“xr，ex=x1”的否定是3过点a（1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为4已知一个物体的运动方程是s=1t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是5“x0”是“x0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6过点（2，）、（，）的椭圆的标准方程为7在正方体abcda1b1c1d1中，b1c与bd所成的角为8直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相交，则b的取值范围为9若正四

2、棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm210下列命题，其中正确的是（填写序号）若m，mn，则n；若mn，m，n，则；若直线mn，则直线m就平行于平面内的无数条直线；若abc和a1b1c1的边aba1b1，aca1c1，则abc=a1b1c111椭圆+=1的左焦点为f1，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点m在y轴正半轴上，那么以线段f1p为直径的圆的标准方程为12已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=3，则其渐近线方程为13定义在r上的函数f（x）满足f（x）1，且f（1）=2，在不等式f（x）x+1的解集为14已知动点a、b分别在图中抛物线y2=4x及

3、椭圆的实线上运动，若abx，点n的坐标为（1，0），则三角形abn的周长l的取值范围是二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知圆c：（x1）2+y2=9内有一点p（2，2），过点p作直线l交圆c于a、b两点（1）当l经过圆心c时，求直线l的方程；（2）当弦ab被点p平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦ab的长16如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，bad=45，ab=2，ad=，pa平面abcd，e是pc的中点，f是ab的中点（1）求证：be平面pdf；（2）求证：平面pdf平面pab17抛物线y

4、=x2上有一点a的横坐标为a，其中a（0，1），过点a的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于b，c两点，直线x=1交x轴于d点（1）求直线l的方程；（2）求bcd的面积s（a），并求出a为何值时s（a）有最大值18（文科班选做此题）已知a0，命题p：x1，x+20恒成立，命题q：点p（1，1）在圆（xa）2+（ya）2=4的外部，是否存在正数a，使得pq为真命题；pq假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由19求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；（2）求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值20已知函数f（x）=（m，nr）在x=1处取到极值2（）求f（x）的解析式；（）设函数

5、g（x）=axlnx若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围21已知椭圆e： +=1（ab0）的短轴为2，离心率为，直线x=my1（mr）交椭圆e于a，b两点，o为坐标原点（1）求椭圆e的方程；（2）求oab面积的最大值；（3）当mr时，判断点g（2，0）与ab为直径的圆的位置关系，并说明理由高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1直线xy+a=0（ar，a为常数）的倾斜角是60【分析】根据题意，设直线xy+a=0的倾斜角为，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tan=，结合的范围，即可得答案【解答】解

6、：根据题意，设直线xy+a=0的倾斜角为，直线xy+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tan=且0180，则有=60，故答案为：60【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键2命题“xr，ex=x1”的否定是xr，exx1【分析】由题意，命题“xr，ex=x1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题“xr，ex=x1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题所以命题“xr，ex=x1”的否定为“xr，exx1”故答案为：xr，exx1【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理

7、解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题3过点a（1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y2=0【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点a（1，1）代入即可得出【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点a（1，1）代入可得：1+3+m=0，解得m=2要求的直线方程为：x+3y2=0故答案为：x+3y2=0【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知一个物体的运动方程是s=1t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么

8、该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度【解答】解：s=1t+t2，求导函数可得s=2t1当t=4时，s=2t1=241=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题5“x0”是“x0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原命题：若“x0”则“x0”，此

9、是个真命题其逆命题：若“x0”，则“x0”，是个假命题，因为当“x0”时“x0”，也可能成立，故不一定得出“x0”，综上知“x0”是“x0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6过点（2，）、（，）的椭圆的标准方程为+=1【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n0且mn），再由点（2，）、（，）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n0且mn），由题意可得，解得，即有椭圆方程为

10、+=1故答案为： +=1【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题7在正方体abcda1b1c1d1中，b1c与bd所成的角为60【分析】连接b1d1和d1c，由bdb1d1，知d1b1c就是异面直线db与b1c所成角由d1b1c是等边三角形，知异面直线db与b1c所成角为60【解答】解：连接b1d1和d1c，bdb1d1，d1b1c就是异面直线db与b1c所成角在d1b1c中，b1d1=d1c=b1c，d1b1c=60故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化8直线3x+4y=b与圆

11、x2+y22x2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y22x2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d=1，即|b7|5，则5b75，即2b12，故答案为：（2，12）【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键9若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=

12、1，求解斜高h=2，运用面积公式求解即可【解答】解：正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，a=2，h为高，即（2）2h=4，h=1，斜高为： =2，侧面积为：42=8故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题10下列命题，其中正确的是（填写序号）若m，mn，则n；若mn，m，n，则；若直线mn，则直线m就平行于平面内的无数条直线；若abc和a1b1c1的边aba1b1，aca1c1，则abc=a1b1c1【分析】在中，由线面垂直的性质得n在中，与相交或平行；在中，直线m与平面有可能相交；在中，abc=a1b1c1或abc

13、和a1b1c1互补【解答】解：若m，mn，则由线面垂直的性质得n，故正确；若mn，m，n，则与相交或平行，故错误；若直线mn，则直线m与平面有可能相交，故错误；若abc和a1b1c1的边aba1b1，aca1c1，则abc=a1b1c1或abc和a1b1c1互补，故错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用11椭圆+=1的左焦点为f1，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点m在y轴正半轴上，那么以线段f1p为直径的圆的标准方程为x2+（y）2=【分析】先根据中位线定理可推断出pf2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距

14、，进而设|pf1|=t，根据勾股定理求得t和|pf2|，可得m的坐标，可得所求圆的标准方程【解答】解：o是f1f2的中点，m为pf1的中点，pf2平行于y轴，即pf2垂直于x轴，c=2，|f1f2|=4设|pf1|=t，根据椭圆定义可知|pf2|=8t，（8t）2+16=t2，解得t=5，|pf2|=3，可得m（0，），|pm|=，即有所求圆的方程为x2+（y）2=故答案为：x2+（y）2=【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题12已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=3，则其渐近线方程为y=x【分析】

15、双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：一条准线方程为y=3，双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线的距离为2，=2，b=2，a=2，c=4渐近线方程为y=x=x故答案为：y=x【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题13定义在r上的函数f（x）满足f（x）1，且f（1）=2，在不等式f（x）x+1的解集为（1，+）【分析】由f（x）1，f（x）x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案【解答】解：设g（x）=f（x）（x+1），因为f（1）=2

16、，f（x）1，所以g（1）=f（1）（1+1）=0，g（x）=f（x）10，所以g（x）在r上是增函数，且g（1）=0所以f（x）x+1的解集即是g（x）0=g（1）的解集x1故答案为：（1，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f（x）（x+1），然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题14已知动点a、b分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若abx，点n的坐标为（1，0），则三角形abn的周长l的取值范围是（）【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出a，b点的横坐标范围

17、，再利用焦半径公式转换为以b点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的b点横坐标方位计算即可【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设a（x1，y1），b（x2，y2），则0x1，x22，由可得，三角形abn的周长l=|an|+|ab|+|bn|=x1+x2x1+aex2=+a+x2=3+x2，x22，3+x24故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15已知圆c：（x1）2+y2=9内有一点p（2，2），过点p作直线l交圆c于a、b两点

18、（1）当l经过圆心c时，求直线l的方程；（2）当弦ab被点p平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦ab的长【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦ab被点p平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦ab的长【解答】解：（1）已知圆c：（x1）2+y2=9的圆心为c（1，0），因直线过点p、c，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x1），即2xy2=0（2）当弦ab被点p平分时，lpc，直线l的方程为y2

19、=（x2），即x+2y6=0（3）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2=x2，即xy=0圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦ab的长为【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键16如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，bad=45，ab=2，ad=，pa平面abcd，e是pc的中点，f是ab的中点（1）求证：be平面pdf；（2）求证：平面pdf平面pab【分析】（1）取pd的中点m，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形mebf是平行四边形，且bemf，结合线面平行的判定

20、定理，即可得到be平面pdf；（2）连接bd，由bad=45，ab=2，ad=，f为ab的中点，可得dfab，由pa平面abcd，可得padf，结合线面垂直的判定定理可得df平面pab，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面pdf平面pab【解答】证明：（1）取pd的中点m，e是pc的中点，me是pcd的中位线，mefb，四边形mebf是平行四边形，bemf，be平面pdf，mf平面pdf，be平面pdf（2）连接bd，bad=45，ab=2，ad=，f为ab的中点，dfab，又pa平面abcd，padf，又由paab=a，df平面pab，又df平面pdf，平面pdf平面pab【点评】本题考查的

21、知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得bemf，（2）的关键是证明df平面pab17抛物线y=x2上有一点a的横坐标为a，其中a（0，1），过点a的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于b，c两点，直线x=1交x轴于d点（1）求直线l的方程；（2）求bcd的面积s（a），并求出a为何值时s（a）有最大值【分析】（1）利用导数的运算法则可得y，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点b，c的坐标，再利用三角形的面积公式，求得s（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论【解答】解：（1）y=x2，y=2x，可得切

22、线l的斜率为2a，切线l的方程是ya2=2a（xa），即2axya2=0；（2）由2axya2=0，令y=0，解得x=，b（，0）；令x=1，解得y=2aa2，即c（1，2aa2），|bd|=1，|cd|=2aa2，bcd的面积s（a）=（1）（2aa2）=（a34a2+4a），s（a）=（3a28a+4）=（3a2）（a2），令s（a）=0，a（0，1），a=当0a时，s（a）0；当a1时，s（a）0a=时，s（a）有最大值【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键18（文科班选做此题）已知a0，命题p：x1，x+20恒成立，命题q：点p（1，1）在圆

23、（xa）2+（ya）2=4的外部，是否存在正数a，使得pq为真命题；pq假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由【分析】根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：若：x1，x+20，即x+2，即x2+2xa在x1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）21，当x1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a3，即p：a3若点p（1，1）在圆（xa）2+（ya）2=4的外部，则（1a）2+（1a）24，即（a1）22，即a1+或a1，若存在正数a，使得pq为真命题；pq假命题，则p，q为一真一假，则此时

24、p：0a3，q：a1+，若p真q假，则，得0a1+，若p假q真，则，得a3，综上0a1+或a3【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键19求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；（2）求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值【分析】（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系axyz，利用向量法能求出异面直线a1b与c1d所成角的余弦值（2）分别求出平面aba1的法向量和平面adc1的法向量，利用向量法能求出平面adc1与aba1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面adc1与aba1所成二面角的正弦值【解答】解：（1）以为单位正交基底建立空间直

25、角坐标系axyz，则由题意知a（0，0，0），b（2，0，0），c（0，2，0），a1（0，0，4），d（1，1，0），c1（0，2，4）， =（1，1，4），cos=，异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为（2）是平面aba1的一个法向量，设平面adc1的法向量为，取z=1，得y=2，x=2，平面adc1的法向量为，设平面adc1与aba1所成二面角为，cos=|cos|=|=，sin=平面adc1与aba1所成二面角的正弦值为【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用20已知函数f（x）=（m，nr）在x=1处取到极值

26、2（）求f（x）的解析式；（）设函数g（x）=axlnx若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围【分析】（i）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（）由（i）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（x）的单调性，由此易判断f（x）在区间，2上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=axlnx我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）=f（x）在x=1处取到极值2，故f（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值故（）由（）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，xm（）当ae时，g（x）0，g（x），依题意由得，故此时（）当eae2时，当时，g（x）0，当时，g（x）0依题意由，得，即与ae矛盾（）当ae2时，此时g（x）0，