第四章拉普拉斯变换.ppt

1、拉普拉斯变换、 连续时间系统的S域分析,第四章,4.1 引言,以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制； 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。,3,为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。

2、本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。,4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域,(一) 从傅里叶变换到拉普拉斯变换,有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号,若乘一衰减因子 ，其 中 为任意实数，则若 收敛，于是满足狄里赫利条件,象函数 (单边L正变换),FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S= +j 是振荡频率， 控制衰减速度,下限取0-, LT就考虑了初始条件,假设有信号f(t),且为因果信号。,原函数 (单边L逆变换),双边拉普拉斯变换若

3、f(t)为非因果信号：,用得较少,以下拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换,(二) 单边拉氏变换的收敛域,欲F(s)存在，则必须满足条件：,解得：,结论：单边拉氏变换的收敛域: 0 。,有始有终信号，能量有限信号,解:,收敛域为整个s平面(-,+),例求下列信号拉氏变换的收敛域,(1),(2),收敛域为(0,+),(3),收敛域为(-Re(a),+),收敛域为(0,+),(4),实际工程中的信号，只要 足够大，F(s)一定存在。所以,收敛域问题一般不讨论，除非题中特别要求去讨论.,1、冲激信号,2、阶跃信号,(三) 常见信号的拉氏变换,3、指数函数信号,4、正幂信号,斜坡信号,5、余弦信号,6、正

4、弦信号,一些常用因果信号的L变换见表4-1(P181),4.3 拉氏变换的基本性质,(一) 线性特性：,a,b为常数.,例 求f(t)=sin(0t)的拉氏变换F(s).,解,因此得：,同法可得：,推论,(二) 时域的微分性,证明:,例如:已知电感的电流为iL(t),且拉氏变换为IL(s),那么电感的电压vL(t)的拉氏变换为：,VL(s)=LsIL(s)-iL(0-)= LsIL(s)-LiL(0-),时域微分性可将f(t)微分方程化为复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而通过复频域分析法可求得系统的全响应。,13,例题：系统微分方程 ，若激励信号和起始状态为:e(t)=u(t

5、),r(0-)=1,r(0-)=2，试分别求它们的零输入，零状态响应及完全响应.,解：对方程两端分别取拉氏变换得：,整理得：,(三) 时域的积分性,例如:已知电容的电流为iC(t),且拉氏变换为IC(s),那么电容的电压vC(t)的拉氏变换为：,证明：,注意：,(四) 时移特性,证明:,16,【例】,已知,【例4】,(五) S域平移特性,证明:,解:,(六) 尺度变换特性,证明:,例:求Lf(at-b)u(at-b),解:,(七) 初值定理,证明:,注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0处有冲激及其导数产生。 F(s)可写成多项式和真分式之和。,即单位阶跃信号的初始值为1

6、。,21,注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面， 如果虚轴上有极点也必须是一阶极点。,(八) 终值定理,证明：对式 左右两侧求s趋向0的极限得：,例：,解（1）求初值,（2）求终值,(九) 卷积定理,时域卷积定理,证明:,4.4 拉氏变换逆变换,由象函数求原函数(即求拉普拉斯反变换)的方法：部分分式展开法,F(s)通常为s的有理分式，一般形式为,总的思路：,有理假分式有理真分式最简分式之和f(t),按D(s) = 0的根(称为F(s)的极点)有无重根等分别讨论如下：,1当mn且为n个单根p1 , p2 , , pn (可为实根、虚根或复根),有理真分式F(s)可展开为如下的部

7、分分式：,通常把使D(s) = 0的根称为F(s)的极点； 通常把使 N(s) = 0的根称为F(s) 的零点。,式中Kj(j=1, 2, , n)为待定系数.,则有原函数,例 求下示函数的逆变换,解,2当mn且D(s) = 0的根有重根时,不妨设根p1为r重根，其余(n-r)个根为单根pj(j=r-1, r-2, , n)，则有理真分式F(s)可展开为,式中待定系数.,则有原函数,例 求下示函数的逆变换,解:,3当mn时,长除法将有理假分式多项式+有理真分式,(m-n)次多项式中的sl对应的原函数为冲激函数及其导数项(l)(t).,例 求下示函数的逆变换,解,有理假分式,有理真分式,多项式,

8、4包含共轭复数极点,原则上可按第1种情况求逆变换.但一般化为正弦、余弦函数的象函数形式,再利用s域平移特性去求逆变换.,解,例 求下示函数的逆变换,解,例 求下示函数的逆变换,4.5 线性系统复频域分析法,拉普拉斯变换的线性性质、时域微分性质与时域卷积性质，可使线性微分方程变为复频域的线性代数方程，同时将系统的初始状态自然反映在象函数中，所以用s域分析法可直接求解全响应。,一、系统微分方程的复频域解,例:已知某LTI连续系统的微分方程，其激励f(t)=u(t)，0-初始条件为y(0-)=2，y(0-)=1，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,方程：,解：对微分方程两边取拉普拉斯变换得：

9、,以具体的微分方程为例：,一般的，若给出系统的数学模型即高阶常系数线性微分方程：,则可以通过对方程两边同时求拉氏变换从而求出系统的全响应同时可以确定零状态及零输入响应。,结论：,二、电路的s域模型,由拉氏变换的线性特性有,KCL：i(t)=0I(s)=0 KVL： u(t)=0U(s)=0,元件：VAR 相应的s域形式 s域模型,1、电阻元件,2、电容元件,3、电感元件,s域模型中：sL称为复频域感抗；(1/sC)称为复频域容抗。,复频域阻抗与复频域导纳：,在零状态下,s域形式的欧姆定律,三、线性系统复频域分析法,复频域分析法步骤,1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)；,2.画

10、出s域电路模型,(1)将电压源、电流源、各支路电压、电流及受 控源表示成象函数形式。,(2)将各元件的参数表示成s域的阻抗或导纳形式。,4.用s域形式的各种分析法如等效变换、独立变量法(支路法，回路法，节点法)、叠加定理、戴维南定理等建立方程，并解出响应变量的象函数；,5.用求拉氏反变换的某种方法求出响应的时域表达式，必要时画出响应的波形。,图示电路，试求零状态响应uC1 、uC2 、u,画出零状态s域电路模型,解：,由节点法：,拉氏反变换得,例1:,注意状态变量有突变。拉氏变换积分下限取0-可方便地解决突变问题。,4.6 系统函数(网络函数)H(s),1.系统函数(网络函数)H(s)的定义,

11、系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变 换之比称为系统函数(或网络函数),h(t)与H(s)构成拉氏变换对,2H(s)的求法,1) H(s)=L h(t)；,2) H(s)=h( p)p=s,3)按定义求：,例1:求右图电路的转移导纳函数,解:列写回路方程式如下:,本题属于方法3,例2:已知系统微分方程,求该系统的系统函数,解:对系统微分方程进行拉氏变换,本题属于方法3,求该系统的冲激响应h(t).,例3:已知系统的激励e(t)、响应r(t)分别为,解:,4.7 由系统函数零极、点分布决定时域特性,一、H(s)的零点、极点与零、极点图,将分子、分母因式分解(设为单根情况)得,系统函数,H0=b

12、m(分子分母最高次项系数之比)为实常数。,E(s)=0的根pi称为(s)的极点，(pi),R(s)=0的根zi称为(s)的零点，(zi)0。,网络函数的零、极点只能是实数或共轭复数对，可以是多重的；在s平面上，用“”表示零点，用“”表示极点称为零、极点分布图。若H01时要在图中标出来；若具有多重的零点或极点时，则应在“”旁或“”旁标出其重数。,例:,解：令,极点:s=-1(二阶),s=j2,令,零点:s=0,s=1j1,二、H(s)的零点、极点分布与h(t)波形特征的对应,冲激响应 h(t)= L-1H(s),Pi为,负实数,h(t)变化规律,非振荡衰减,负实部共轭复数,故有如下结论 ：,振荡

13、衰减,正实数,非振荡递增,正实部共轭复数,振荡递增,共轭纯虚数（单阶）,等幅振荡,0（单阶）,常数项,共轭纯虚数（重阶）,振荡递增,0（重阶）,递增,1）极点pi决定系统自由响应（固有响应）的变化的规律。取决于系统的结构与元件的参数，故pi称为系统的自然频率或固有频率。,2）H(s)的零点只影响h(t)波形的幅度和相位 ，不影响波形模式；,总结:1.若H(s)极点落于s平面的左半平面,则h(t)波形为 衰减形式;(系统稳定) 2.若H(s)极点落于s平面的右半平面,则h(t)波形为 增长形式; (系统不稳定) 3.落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)为等幅振荡或 阶跃(临界状态);落于虚轴上的二

14、阶极点对应的 h(t)为增长形式(系统不稳定).,三、H(s)、E(s)零极点分布与自由、强迫响应特征的对应,设,则,自由响应, 由H(s)的极点所形成. H(s)的极点pi称为系统的固有频率,强迫响应, 由E(s)的极点所形成,(单极点情况),Ki,Kk则与H(s)和E(s) 都有关系.,注意:系统函数H(s)只能用于研究系统的零状态响应.,例:电路如右图.,求输出电压u2(t),解:,自由响应,强迫响应,若输入电压为,4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性,一、频响特性 1、频响特性:指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频 率的变化情况.包括幅频特性和相频特性相两个方面.,若系统函数H

15、(s)的收敛域包含j，则令s= j,频率特性曲线称为频率响应,频响特性:,设,56,2、H(jw) 和稳态响应的关系,则系统响应为,其中,57,频响特性,幅频特性,相频特性（相移特性）,系统的稳态响应,因此可得：当激励为Asinwot时， 稳态响应为人r（t）= AH0sin(w0t+0),注意：,58,滤波网络频响特性示例,(黑虚线表示理想滤波器,红实线表示实际滤波器),频率特性绘制的方法 :,方法1：描点法。（注意以下关键点）,方法2.图解法：每给一个值，由H0及其零、极点矢量因子进行图解得到相应的,例:研究RC低通滤波网络的频响特性,解:,4.10 全通函数与最小相移函数的零、极点分布,

16、全通函数:系统函数的极点位于左半平面,零点位于右半平面且零点与极点对于j轴互为镜像.,对于全部频率的正弦信号都能按同样 的幅度传输系数通过.,2.相频特性不受约束.,在传输系统中,全通网络常用于进 行相位校正(如作相位均衡器或移相器,特点:1.幅频特性为常数,例:判断下列系统中哪些是全通系统,解: (1)极点p1=-1,零点z1=1.零、极点对于j轴 互为 镜像.故为全通系统.,(2)极点p1=-1,零点z1=2.零、极点对于j轴 不互为镜像.故不是全通系统.,(3)极点p1,2=-1j,零点z1=1 j.零、极点对于j轴互为镜像.故是全通系统.,最小相移函数:零点仅位于左半平面或j轴的网络函

17、数.若网络函数在右半平面有一个或多个零点,称为非最小相移函数.,非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积.,设非最小相移函数在右半平面的零点为,非最小相移函数,最小相移函数,全通函数,例:判断下列系统中哪些是最小相移系统.若有非最小相 移系统, 用最小相移系统与全通系统进行组合.,解: (1) 零点z1=-1, z2=-3.零点位于左半平面.故为最小相移系统.,(2) 零点z1,2=2 j.零点位于右半平面.故为非最小相移系统.,非最小相移函数,最小相移函数,全通函数,1系统稳定性的意义与条件,4.11 线性系统的稳定性,系统的稳定性是系统自身的性质之一，取决于系统的结构与参数,与

18、激励信号及初始状态无关 . 系统的h(t)或系统函数H(s)集中表征了系统的本性.它也反映了系统的稳定性. 系统稳定的充分必要条件:,(M为有界正值),因果系统稳定的充分必要条件:,(M为有界正值),推论：系统稳定的必要条件是,判断系统是否稳定,可从时域和s域两方面进行.,(因果系统时为 ),2系统稳定性的判定,(1) 从(s)极点的分布来判定：,系统稳定：(s)全部极点均位于s的左半平面上.,系统临界稳定：在j轴上有单极点,其它极点均位于s 的左半平面上.,系统不稳定：至少有一个极点位于s的右半平面上或在 j轴上有重极点.,(2) 用罗斯(Routh)准则来判定(当H(s)的极点不易求得时)

19、,用罗斯准则确定(s)的分母多项式D(s)的根(即(s)极点)是否都位于s左半平面.这里只介绍D(s)为二、三阶时情况. (详见教材下册p302),1) 二阶多项式s2+ s+的根都位于s左半平面的充分必要条件是 所有系数具有相同符号.,2) 三阶多项式s3+ s2+s+ 的根都位于s左半平面的充分必要条件是除上述系数同号条件外,还应满足 .,例:用罗斯准则判断下列系统是否稳定,解: (1)不稳定,(2)稳定,(3)稳定,(4)不稳定,(5)不稳定,稳定系统的另一种定义方式(BIB0): 若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的,则 称此系统为稳定系统.,根据H(s)极点分布,系统稳定性划分为三个类型,稳定,临界稳定,不稳定,根据BIBO,系统稳定性划分为二个类型,稳定,不稳定(临界稳定属于不稳定类型),通常不含受控源的RLC电路构成稳定系统;只由LC元件构成电路,出现H(s)极点位于虚轴的情况,h(t)为等幅振荡,属稳定或临界稳定系统;含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况.,例:假设下图所示放大器的输入阻抗为