Bezier曲线的拼接及其连续性.ppt

1、Bezier曲线的拼接及其连续性,组员：栗周亚（主讲）樊凯 葛序理 牛辰光 顾超锋 尹顺源,Bezier曲线,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bzier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法。Bzier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。,Bezier曲线是通过一组多边折线的各顶点唯一的定义出来的。在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用以定义曲线的阶次和形状。 多边折线称为特征多边形，其顶点称为 控制点。,Bzier曲线示例

2、,Bzier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1Pn的逼近；,Pi表示特征多边形的n+1个顶点的位置向量， 是波恩斯坦多项式，Bernstein基函数具有如下形式：,注意：当i=0，t=0时，ti=1，i!=1。,1. Bezier曲线的定义,1一次Bezier曲线(n=1)一次多项式，两个控制点,这是一条连接起点和终点的直线段,1一次Bezier曲线(n=1)一次多项式，两个控制点,这是一条连接起点和终点的直线段,2二次Bezier曲线(n=2) 二次多项式，三个控制点,令,说明二次Bezier曲线为抛物线。,二

3、次Bzier曲线图示,二次Bezier曲线的三条调和函数,二次Bezier曲线代码： m-文件函数： function bezier2(p0,p1,p2) t=0:0.001:1; x=(p2(1)-2*p1(1)+p0(1)*t.2+2*(p1(1)-p0(1)*t+p0(1); y=(p2(2)-2*p1(2)+p0(2)*t.2+2*(p1(2)-p0(2)*t+p0(2); plot(p0(1) p1(1) p2(1),p0(2) p1(2) p2(2),b),hold on plot(x,y,r); 执行： bezier2(1,3,4,18,7,6),2 Bezier曲线的性质,（1

4、）端点,Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。,（2）一阶导数,起始点：,终止点：,（3）对称性,保持n次Bezier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。,（4）凸包性,由于 所以当t在0，1区间变化时，对某一个t值，Q(t)是特 征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在 几何图形上，意味着Bzier曲线Q(t)在 中各点是 控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之 中；,(5)几何不变性,曲线的形状仅与特征多边形各顶点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关。,三次Bezier曲线的插值 插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个

5、控制点决定 一条Bezier曲线，插值M个点(M4)设计到曲线拼接连续性 的问题，要求达到切线连续。 三次Bezier曲线的数学表达是为：,三次Bezier曲线的结构,【算法】 Step 1：已知采样点,，两端各自增加一个虚拟控制点,，分别求出,的中点,Step 2：分别求出,的中点,。,Step 3：将,沿着,的方向移到,，对应的,移到,。,Step 4：保持,点不变收缩线段,到,，且,。记,为,，,为,。,Step 5：分别以,为4个控制点按照（1）,式画出一条三次的Bezier曲线，得到的Bezier曲线插值于 每一个采样点,且分片一次连续。,算法的示意图,三次Bezier曲线代码： f

6、unction bezier3(p0,p1,p2,p3) t=0:0.001:1; x=(1-t).3*p0(1)+3*t.*(1-t).2*p1(1)+3*t.2.*(1-t)*p2(1)+t.3*p3(1); y=(1-t).3*p0(2)+3*t.*(1-t).2*p1(2)+3*t.2.*(1-t)*p2(2)+t.3*p3(2); plot(p0(1) p1(1) p2(1) p3(1),p0(2) p1(2) p2(2) p3(2),b); hold on; plot(x,y,r); 执行： bezier3(0,3,5,20,7,2,9,1),Bezier曲线的拼接,拼接不要求曲线

7、通过每一个采样点，只要求曲线 “很接近”采样点就行。“很接近”的评价标准常为最 小平法逼近。 拼接的一般步骤：,设采样点为,，拼接的Bezier曲线为,Step 1： 将,参数化到0,1区间上的值，即求,。常采用弦长参数法,Step 2： 对每一段三次的Bezier曲线，有,最小，需要求每一段Bezier曲线的控制点。,按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大， 计算量成,倍增长，且反求控制点的矩阵若为病态矩阵， 则求解更耗时间，拼接的结果也不尽人意。,4.C1的二次B样条闭曲线,馒头,B样条曲线代码： function Byangtiao8(p) t=0:0.005:1; hold

8、 on for i=1:5 x=p(1,i)*(1/6)*(-t.3+3*t.2-3*t+1)+p(1,i+1)*(1/6)*(3*t.3-6*t.2+4). +p(1,i+2)*(1/6)*(-3*t.3+3*t.2+3*t+1)+p(1,i+3)*(1/6)*t.3; y=p(2,i)*(1/6)*(-t.3+3*t.2-3*t+1)+p(2,i+1)*(1/6)*(3*t.3-6*t.2+4). +p(2,i+2)*(1/6)*(-3*t.3+3*t.2+3*t+1)+p(2,i+3)*(1/6)*t.3; plot(x,y,k); end plot(p(1,1) p(1,2) p(1,

9、3) p(1,4) p(1,5) p(1,6) p(1,7) p(1,8), p(2,1) p(2,2) p(2,3) p(2,4) p(2,5) p(2,6) p(2,7) p(2,8); 执行： Byangtiao8(4,6,3,1,7,9,15,11;0,9,11,15,15,7,6,12),function Testorder2C10 axis(0 10 0 10) hold on x=; y=; n=0; while (1) xtemp, ytemp, button=ginput(1); if button=3 break end plot(xtemp, ytemp, .); x=x

10、;xtemp; y=y;ytemp; n=n+1; end,delta=ones(n,1); %此处01.l= tx,ty=interporder2c10(x,y,delta); m=length(tx); for s=1:2:m-1 hold on myplotB(tx(s:s+2),ty(s:s+2),r); end hold off end,附录：C1的二次B样条闭曲线Matlab程序,function myplotB(x,y,str) B=; m=length(x); for t=0:0.01:1 X,Y=Beziercurve(x,y,t); B=B,X(1,m);Y(1,m); e

11、nd plot(B(1,:),B(2,:),str,Linewidth,2.5) hold on,X,Y=Beziercurve(x,y,0.5); for i=1 plot(X(1:m-i+1,i),Y(1:m-i+1,i),str); end hold off end function X,Y=Beziercurve(x,y,t) m=length(x); n=length(y); if m=n error(dimension is not match); end,X=zeros(m,m); X(:,1)=x; Y=zeros(m,m); Y(:,1)=y; for r=m:-1:2 X(

12、1:r-1,m-r+2)=(1-t)*X(1:r-1,m-r+1)+t*X(2:r,m-r+1); Y(1:r-1,m-r+2)=(1-t)*Y(1:r-1,m-r+1)+t*Y(2:r,m-r+1); end end,function tx,ty=shengjie(x,y) m=length(x); tx=zeros(m+1,1); ty=zeros(m+1,1); tx(1)=x(1); tx(m+1)=x(m); ty(1)=y(1); ty(m+1)=y(m); tx(2:m)=(2:m)/(m+1).*x(1:m-1)+. (1-(2:m)/(m+1).*x(2:m); ty(2:m)=(2:m)/(m+1).*y(1:m-1)+. (1-(2:m)/(m+1).*y(2:m); end,function tx,ty=interporder2c10(x,y,delta) m=length(x); n=2*m+1; tx=zeros(n,1); ty=zeros(n,1); for i=1:m-1 tx(2*i)=x(i); tx(2*i+1)=(delta(i+1)*x(i)+. delta(i)*x(i+1)/(delta(i)+delta(i+1); ty(2*i)=y(i); ty(2*i+1)=(delta(i+1)*y(i)+.,delta(i)*y