理论力学第9章刚体的平面运动.ppt

1、第九章 刚体的平面运动,主要内容,9.1 刚体平面运动的概述和运动分解,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,9.5 运动学综合应用举例,一、刚体平面运动的概念,在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距 离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。,二、刚体平面运动的简化,对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。,9.1 刚体平面运动的概述和

2、运动分解, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动简化, 动画,刚体平面运动简化实例,三、刚体平面运动的方程,S,为了确定平面图形的运动，取静系 ，在图形 上任取一点 （称为基点），并取任一线段 ，只要确定了 的位置， 的位置也就确定了,9.1 刚体平面运动的概述和运动分解,刚体平面运动方程,刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。,四、刚体的平面运动分解为平动和转动,刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基点的选择无关。,9.1

3、刚体平面运动的概述和运动分解, 动画,刚体平面运动分解, 动画,平面运动, 动画,平面运动, 动画,平面运动分解, 动画,平面运动, 动画,平面运动分解, 动画,平面运动分解,一基点法（合成法）,A,取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,求平面图形内任一点速度的基点法,B,定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动

4、时的速度的矢量和。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,二、速度投影定理,速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。,例 题 9-1,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-1,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,规尺AB作平面运动 。以A点为基点，应用速度合成定理，B点的速度可表示为,基点法,其中， vA的大小已知。由速度合成矢量图可得,故规尺AB的角速度,（顺时针）,例 题 9-1,9.2

5、求平面图形内各点速度的基点法,如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300 mm。在图示位置时，BDAE。杆AB的角速度为=5 rads1。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C 的速度。,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,1. 求杆DE的角速度。,其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速度 vD与DE 垂直。,基点法,以B点为基点，应用速度合成定理，D点的 速度可表示为,杆BD作平面运动， vB大小为,方向与AB垂直。,vD,vDB,vB,例 题 9-2,9.2 求平

6、面图形内各点速度的基点法,由速度合成矢量图可得,于是可得此瞬时杆BD的角速度为,vDB 为D点绕B的转动速度，应有,转向为逆时针,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,2. 求杆BD中点C的速度。,仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点的速度可表示为,vB,vC,vCB,其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD杆垂直，大小为,由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆BD，大小为,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,曲柄连杆机构如图所示，OA= r ， 。如曲柄OA以匀角速度转动，求当 ， 和 时点B的速度。,例 题 9-3,9.2 求平面图形

7、内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,连杆AB作平面运动，以A为基点，B点的速度为,vA,vB,vBA,其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向，vBA与AB垂直。,此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得,解：,基点法,vB = vA+ vBA,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,vA,vBA,vA, 当 时， vA与vBA均垂 直OB，,vB = 0,vA,vB,vA,此时杆AB 的角速度为零。A，B两点的速度大小与方向都相同。,由速度合成矢量图可得,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,如图所示的行

8、星系中，大齿轮固定，半径为r1；行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度O。试求轮的角速度及上B，C两点的速度。,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,行星轮作平面运动，A点的速度,以A为基点，则轮上与轮接触的点 D的速度可表示为,由于齿轮固定不动，接触点D不滑动，所以vD=0 ，因而有,解：,vDA为D点绕基点A的转动速度，应有,1. 求轮的角速度 。,基点法,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,行星轮作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得,以A为基点，B点的速度为,方向

9、与vA垂直，如图所示。,vA,vBA,vB,2. 求轮上B点的速度。,因此， vB 与 vA 的夹角为45o，指向如图，大小为,其中,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,以A为基点，C点的速度,方向vA与一致，由此,vCA,vA,vC,行星轮作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得,3. 求轮上C点的速度。,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度 = 2 rads1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点

10、的速度。,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上投影相等，即,摇杆 CD绕C点作定轴转动,轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为,vA,vB,速度投影法,求得,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,一、问题的提出,若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？,二、速度瞬心,每一瞬时，任何平面图形内部或其扩

11、大部分内总存在一点其绝对速度为零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,三、速度瞬心法,在任一瞬时，平面图形上各点的速度方向垂直于该点与该瞬时的速度瞬心P的连线，其指向由 的转向决定，其大小与该点到速度瞬心P的距离成正比，等于该点到速度瞬心的距离与图形转动的角速度的乘积。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,注意：速度瞬心的加速度不为于零。,四、确定速度瞬心位置的方法,P,A,1、已知图形上一点A的速度 和图形角速度，则从 开始，沿的方向转过90，作直线PA ，使 , 则P点即为该瞬时的速度瞬心。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,

12、2、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。,A,B,P,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动画,速度瞬心的确定,A,B,P,A,B,P,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动画,速度瞬心的确定, 动画,速度瞬心的确定,A,B,A,B,5、已知某瞬时图形上A,B两点的速度平行且同向 ，并且 不垂直于AB，则由速度投影定理知，必有 ，该瞬时图形作瞬时平动，速度瞬心不存在，角速度为0，该瞬时图形上各点的速度相等，瞬时平动的图形上各点的加速度一般来说是不相等的（大小不等，方向也不相同）,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动

13、画,速度瞬心的确定,椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。,用瞬心法解例1,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,运 动 演 示,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,O,B,A,x,y,对作平面运动的规尺AB ，分别作A和B两点速度的垂线，可得其速度瞬心Cv 。,B点的速度,用瞬心法也可求得规尺AB上任一点的速度。例如中点D的速度为,速度瞬心法,从而知规尺AB的角速度为,其方向垂直于DCv，且朝向图形转动的一方。,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,如图所示，节圆半径为r的行星齿

14、轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度O 转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。,例 题 9-7,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,解:,所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：,各点的速度方向如图所示。,因为A点的速度,行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。,例 题 9-7,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,车厢的轮子沿直线轨道滚动

15、而无滑动，如图所示。已知车轮中心O的速度为vO。如半径R和r都是已知的，求轮上A1，A2，A3，A4各点的速度，其中A2，O，A4三点在同一水平线上，A1，O，A3三点在同一铅直线上。,例 题 9-8,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,因为车轮只滚动无滑动，故车轮与轨道的接触点C 就是车轮的速度瞬心。令为车轮转动的角速度，则,计算各点的速度,这些速度分别垂直于A1C ， A2C ， A3C 和A4C ，指向如图。,解：,速度瞬心法,例 题 9-8,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,已知：某瞬时平面图形的角速度为 ，角加速度为 ，以及图形上某点A的加速度,求：图形上任意一点B的加速度。,

16、A点加速度已知，所以选取A点为基点意味着以A为原点建立了一个随同基点A一起运动的平动坐标系，则平面图形在其所在平面内的绝对运动可以看成随同基点A的平动和绕基点A的转动的合成。把图形上的B点选为动点，则 B点的绝对加速度,A,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,B,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,B,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,B点的绝对加速度,定理：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。,A,B,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,曲柄滑块连杆机构如图所示，曲

17、柄OA长R，连杆AB长l。曲柄以匀角速0转动。求图示位置时连杆AB中心点M 的加速度。,例 题 9-9,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,首先求得连杆AB 的瞬心Cv 如图所示，利用瞬心法分析，可得连杆的角速度为,1. 速度分析.,2. 加速度分析。,因A点作匀速圆周运动，则,M点相对基点A 的法向加速度,M点相对基点A 的切向加速度,解：,vA,vB,选 A点为基点，则M点的加速度为,Cv,例 题 9-9,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,为求连杆的角加速度，应先求出B点的加速度，选 A点为基点，则B点的加速度,投影到 轴上得,因,得到,aA,aB,例 题 9-9,9.4 用

18、基点法求平面图形内各点的加速度,投影到 轴上,求得连杆AB的角加速度大小为,逆时针转向,例 题 9-9,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,分别投影到 ， 轴上得,由于,所以,由此即可求得M 点加速度的大小和方向。,对,例 题 9-9,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O = l，以匀角速度1绕O1轴转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在轮上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，A点在O1O的延长线上，而B点则在垂直于O1O的半径上。试求点A和B 的加速度。,例 题 9-10,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,轮作平面运动，其中心O的速

19、度和加速度分别为：,轮的速度瞬心在C点，则轮的角速度,因为1和都为常量，所以轮的角加速度为零，则有,解：,1. 求A点的加速度。,选O为基点，应用加速度合成定理,例 题 9-10,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,A点相对于基点O的法向加速度沿半径 OA，指向中心O，大小为,所以由图可知A点的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为,aO,aO,例 题 9-10,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,所以B点的加速度大小为,它与半径OB间的夹角为,2. 求B点的加速度。,选O为基点，应用加速度合成定理,其中,aO,例 题 9-10,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,如图所

20、示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当 时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。,例 题 9-11,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,运 动 演 示,例 题 9-11,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,曲柄OD 绕O轴转动，规尺AB作平面运动。 AB上的 D点加速度 ，,设规尺 AB 的角速度为AB ，可由基点法或瞬心法求得,aD,解：,其中 的大小 ， 方向沿AB 。 atAD 大小未知，垂直于AD，其方向暂设如图。因为A点作直线运动，可设aA的方向如图所示。,取AB上的D点为基点，A点的加速度,aD,aA,则,例 题 9-11,9.4

21、用基点法求平面图形内各点的加速度,取和 轴如图所示，将上式分别在和 轴上投影，得,由上式解得,规尺 AB角加速度,由于aA为负值，故aA的实际方向与原假设的方向相反。,对式,例 题 9-11,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。,例 题 9-12,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度 分别为,取中心O为基点，则C点的加速度,式中,由于aO与 大小相等方向相反，于是有,解：,车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点C。,方向向

22、上,n,aO,例 题 9-12,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,在多个刚体构成的机构中，处于平面运动刚体上的某个点被选为动点，它可能即满足平面运动的规律，又满足点的合成运动的规律。应注意分别分析，综合灵运用这两种规律。有时同一问题可用不同方法分析，经过分析比较后，选用较简便的方法求解。,下面通过例子说明这些方法的综合应用。,9.5 运动学综合应用举例,如图所示平面机构，滑块B可沿杆 OA滑动。杆BE与BD分别与套筒B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v 沿铅直导轨向上运动，杆BE长为 。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,例 题 9-1

23、3,9.5 运动学综合应用举例,运 动 演 示,例 题 9-13,9.5 运动学综合应用举例,由v及vB方向可知此瞬时点O为BE杆的速度瞬心，所以有,以E为基点，B点的加速度为,aB,杆BE作平面运动，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在OA杆上滑动，并带动杆OA转动，可按复合运动方法求解杆OA的角速度和加角速度。,1. 求B点的速度。,2. 求B点的加速度。,解：,例 题 9-13,9.5 运动学综合应用举例,由于滑块E作匀速直线运动，故aE=0。 anBE的大小为,沿BE方向投影上式，得,从而求得,例 题 9-13,9.5 运动学综合应用举例,应用速度合成定理,于是得杆OA的角速度,上面用

24、刚体平面运动方法求出了B点的速度和加速度。由于B 滑块可以在OA杆上滑动，因此可利用点的复合运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。,式中va=vB；牵连速度ve其方向垂直于OA，因此与va同向；相对速度vr沿OA杆，即垂直于va 。显然有,3. 求OA杆的角速度。,vr,ve,va,动系固连于OA杆。,动点滑块B。,定系固连机座。,（逆时针转向）,例 题 9-13,9.5 运动学综合应用举例,O,E,B,D,l,l,OA,v,A,故杆OA的角加速度为,牵连法向加速度,滑块B的绝对加速度,将上式投影到与ar垂直的BD线上，得,滑块B的相对运动为沿OA的直线运动，此瞬时，vr=0，故相对加速度ar

25、= 0。,4. 求杆OA的角加速度。,应用加速度合成定理,则滑块B的牵连切向加速度为,（顺时针转向）,牵连切向加速度沿BD杆。,例 题 9-13,9.5 运动学综合应用举例,在示平面机构中，AC杆在导轨中以匀速v平动，通过铰链A带动AB杆沿导套O运动，导套O与杆AC的距离为l。图示瞬时AB杆与AC杆的夹角为 ，求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,例 题 9-14,9.5 运动学综合应用举例,运 动 演 示,例 题 9-14,9.5 运动学综合应用举例,va,ve,vr,由速度合成定理,由于杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。其角速度,各速度矢如图所示。,解法一,

26、解：,1. 求AB杆的角速度。,动系固连于导套O 。,动点 A点。,定系固连机座。,绝对运动A点以匀速v 沿AC方向的运动。,相对运动A点沿导套O的直线运动。,牵连运动导套O绕定轴的转动。,其中,从而求得,（逆时针转向）,例 题 9-14,9.5 运动学综合应用举例,由于A点为匀速直线运动，故其绝对加速度为零。A点的相对运动为沿导套O的直线运动，因此其相对加速度ar 沿杆AB方向，故由加速度合成定理有,式中，绝对加速度aa = 0，科氏加速度,aC,ar,将上式投影到ate方向得,从而求得AB杆的角加速度大小为,2. 求AB杆的角加速度。,动点、动系与定系的选取与上相同。,（顺时针转向）,例

27、题 9-14,9.5 运动学综合应用举例,以O点为坐标原点建立如图直角坐标系，,将其两端对时间求导，并注意到,当 时得AB杆角速度,角加速度,再将其两端对时间求导，得,得,解法二,则A点的 x 坐标为,例 题 9-14,9.5 运动学综合应用举例,如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕O轴转动，滑块B以匀速v=l 沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30o。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,例 题 9-15,9.5 运动学综合应用举例,运 动 演 示,例 题 9-15,9.5 运动学综合应用举例,对作平面运动的AB杆，以B点为基点，有,再用点的复合运动理论分析，,AB杆作平面运动，A点又在摇杆OC内有相对运动，这是一个应用刚体平面运动和点的复合运动理论联合求解的问题，而且是一种含两个运动输入量和v 较复杂的机构运动问题。,1. 求AB杆的角速度。,解：,（1）,动系固连于导套OC杆上 。,动点 A点。,定系固连机座。,例 题 9-15,其中,由点的复合运动速度合成定理，有,（2）,相对速度vr大小未知。,9.5 运动学综合应用举例,例 题 9-15,由上面（1