10 第一节 多元函数的基本概念.ppt

1、推广,第六章 多元函数微分学,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,第一节 多元函数的基本概念,一、 Rn 空间的有关概念,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,一、 Rn 空间的有关概念 1、n维空间 Rn,用Rn表示n元有序实数组(x1, x2, xn)的全体构成的集合.,即 Rn= (x1, x2, xn)| xkR , k =1,2, n .,定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维(实)空间.,元素 x = (x1, x2, xn) 称为 Rn中的一个点或n维向量,数 xk 称为 x 的第 k 个坐标或第 k 个分量.,0= (0,0,

2、0) 称为Rn的坐标原点.,说明：,设x =(x1, x2, xn), y =(y1, y2, yn)Rn , , R.,1) Rn 中x与y的线性运算 x + y 定义为:, x+ y =( x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn).,2) Rn 中两点 x 与 y 之间距离为:,当 n=1,2,3时, 分别为数轴、平面、空间两点间的距离,3) 设 a =(a1,a2,an) 为 Rn中的定元,若 |xa|0,则称变元 x 在 Rn中趋于定元 a ,记为 x a .,x a 的充要条件是 xk ak ( k=1,2,n) .,2、平面的有关概念,1) 邻域,设P0(x0, y0)是

3、xoy平面上的一个点, 是某一正数, 与点P0(x0, y0)距离小于 的点P(x, y)的全体, 称为点P0的 邻域, 记为U(P0, ),(圆邻域),P0点的去心邻域, 记为,说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成U(P0).,点 P0 的去心邻域记为,2) 内点、边界点和聚点,设点集E R2, 点P R2 .,1) 若存在点 P 的一个邻域U(P,) , 则称点P为E的内点.,显然E的内点属于E.,若存在点 P 的某邻域U(P)E = ,则称P 为E 的外点.,2) 若在点 P 的任一邻域内都既有E的内点也有E的外点,则称 P 为 E 的边界点 .,E 的边界点的全体称为E 的边界, 记

4、作E.,3) 若对任意给定的0, 点P 的去心邻域,内总有,说明： a) 内点一定是聚点；,b) 边界点可能是聚点；,( 聚点可以属于 E, 也可以不属于E ),E 中的点, 则称点 P 是 E 的聚点.,3) 开集与闭集,设点集 E R2,若 E 中每一点都是内点, 则称 E 是R2中的开集.,若E的余集Ec是R2中的开集, 则称 E是R2中的闭集.,(若E E , 则称 E 为闭集),例如,即为开集,即为闭集,既非开集也非闭集.,是有界点集；,是无界点集,例如,4) 有界集与无界集,5) 区域、闭区域,设非空点集D R2, 若 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是

5、连通的.,连通的开集称为开区域 , 简称区域 ;,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,例如,开区域,闭区域,3、 n维空间Rn中邻域、区域等概念,邻域：,在R3空间中,(球邻域),内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义,二、多元函数的概念,引例,1) 圆柱体的体积,2) 定量理想气体的压强.,定义,映射f : D R称为定义在 D 上的 n 元函数 ,设非空点集D Rn,记作,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数,当 n = 3 时, 有三元函数,多元函数中也有自变量、因变量等概念.,多元函数由对应法则 f 和定义域D 两要

6、素确定。,规定 多元函数的自然定义域是使算式所表达的函数 有意义的x1, xn所对应的点P(x1, xn)的全体 .,定义域为圆域,图形为中心在原点的上半球面.,例如 1. 二元函数,2. 三元函数,定义域为单位闭球,二元函数的几何意义：,空间点集 (x, y, z)| z =f (x, y), (x, y) D称为二元函数的图形,一般为空间曲面 .,例1 (1) 求 的定义域,(2) 求 的定义域,(3) 求 的定义域,例2 求 的定义域,解,所求定义域为,例3 求函数的定义域 (r R),例4 设,例5 已知 求 .,二元函数也有复合函数,例6 已知 求 .,例7,多元函数也有单值性与多值

7、性的概念.,例如,单值分支,一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用.,但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x),其定义域为DRn,集合XD.若垂存在正数M,使对xX，有|f(x)|M,则称f(x)在X上有界,M称为f(x)在X上的一个界.,三、多元函数的极限,说明：,(1) 定义中 的方式是任意的；,(2) 二元函数的极限也叫二重极限.,证,故有,总有,若当点 P(x, y) 以不同方式趋于P0 (x0, y0) 时,函数趋于不同值或有的极限不存在 , 则可以断定函数极限不存在.,解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,则有,k

8、 值不同极限不同 ,故 不存在.,确定极限不存在的方法：,方法一 点P(x, y)沿某条特殊路径趋向于P0(x0, y0), 若极限值不存在, 则可断言极限不存在.,方法二 点P(x, y)沿不同路径趋向于P0(x0, y0), 若极限值存在但不相等, 则可断言极限不存在.,点P(x, y)沿某些特殊路径 (如 y = kx ) 趋向于P0(x0, y0), 若极限值与k有关, 则可断言极限不存在.,从极限定义可知, 多元函数的极限与一元函数极限相同, 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例3 求,例4 求,例5 求,四、多元函数的连续性,若函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.,例

9、1 函数,在点(0,0)极限不存在,故函数在点(0,0)处不连续,点(0,0)为其间断点,例2 函数,在 上间断.,多元基本初等函数：,由多元函数极限的四则运算可得多元函数的四则运算连续性及复合函数的连续性.,这些函数看作多元函数, 叫做多元基本初等函数.,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.,例3 求,解,闭区域上连续函数的性质(与一元函数类似),(1) 有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数在D上必有界,有界闭区域D上的多元连续函数在D上存在最大值和最小值,有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取得两个