高中数学 指数与指数幂的运算提高知识讲解 新人教A版必修

1、指数与指数幂的运算 【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算； (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质【要点梳理】

2、要点一、整数指数幂的概念及运算性质1整数指数幂的概念2运算法则（1）；（2）；（3）；（4）.要点二、根式的概念和运算法则1n次方根的定义：若xn=y(nN*，n1，yR)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：要注意上述等式在形式上的联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误要点三、分数

3、指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：要点四、有理数指数幂的运算1有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当a0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要

4、化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（ab）2a22abb2，（ab）3a33a2b3ab2b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.计算：（1）；（2）.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）=+-=|+|-|=+-（）=2 （2） = = =【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想

5、来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.举一反三：【变式1】化简：（1）；（2）【答案】（1）；（2）。类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】；【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。（1）（2）；（3）；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂=解法二：从外向里化为分数指数幂。 =【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。举一反三：高清

6、课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）；【答案】（1）；（2）。【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】；【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）= =。例3.计算：(1)；(2)(3)。【答案】3；0；2【解析】(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=-5+6+4-(3-)=2；【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)112 （2）【解析】(1)原式=；(2)原式.例4.化简下列各式.(1) ；(

7、2)；(3).【答案】；0.09【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.(1)(2)(3)举一反三：【变式1】化简【答案】【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2】化简下列式子：(1)(2)(3)【答案】；【解析】(1)原式(2)由平方根的定义得：(

8、3).高清课程：指数与指数运算 例4例5已知，求的值。【答案】【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。， ，=【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。举一反三：【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12， xy=9，且xy，求的值.【答案】；【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3(2) 又 x+y=12， xy=9， (x-y)2=(x+y)2-4xy=122-49=108.又 xy， x-y=代入(1)式得:.【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算