高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)学案 新人教B版必修

1、1.3.1正弦函数的图象与性质(二) 学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)的周期.3.掌握函数ysin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性知识链接1观察正弦函数图象知正弦曲线每相隔2个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x2k)sin x(kZ)当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律2观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数ysin x的图象关于原点对称预习导引1正弦曲线从函数图象看，正弦函数ysin x的图象关于原点对称；从诱导公式看，sin(x)sin_x

2、对一切xR恒成立所以说，正弦函数是R上的奇函数2函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3正弦函数的周期由sin(x2k)sin_x知正弦函数ysin x是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.要点一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)ysin(xR)；(2)y|sin 2x|(xR)解(1)方法一令z2x，xR，zR.函数f(x)sin

3、 z的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数f(x)sin(xR)的周期是.方法二f(x)sin的周期为.(2)作出y|sin 2x|的图象由图象可知，y|sin 2x|的周期为.规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“xT”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期(2)常见三角函数周期的求法：对于形如函数yAsin(x)，0的周期求法通常用公式T来求解对于形如y|Asin x|的周期情况常结合图象法来解决跟踪

4、演练1求下列函数的最小正周期：(1)ysin x；(2)y2sin.解(1)如果令ux，则sin xsin u是周期函数，且最小正周期为2.sinsin，即sinsin x.ysin x的最小正周期是4.(2)2sin2sin，即2sin2sin.y2sin的最小正周期是6.要点二函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin .f.规律方法解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪演练2若f(x)是

5、以为周期的奇函数，且f1，求f的值解因f(x)是以为周期的奇函数，所以ffff1.要点三函数奇偶性的判断例3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)；(3)f(x)lg(sin x)解(1)函数的定义域为R，且f(x)sinsincos 2x，显然有f(x)f(x)恒成立函数f(x)sin为偶函数(2)由2sin x10，即sin x，得函数的定义域为(kZ)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数(3)函数的定义域为R.f(x)lg(sin x)lglg(sin x)f(x)，函数f(x)lg(sin x)为奇函数规律方法判断函数奇偶性时

6、，必须先检查定义域是否关于原点对称如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数跟踪演练3判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(2)f(x).解(1)由得1sin x0时，f(x)x2sin x，求当x0时，f(x)的解析式解设x0，f(x)(x)2sin(x)x2sin x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，x0，xR)的周期T.2判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称一、基础达标1函数f(x)sin

7、，xR的最小正周期为()A. BC2 D4答案D2函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A5 B10C15 D20答案B3下列函数中，周期为的偶函数是()Aysin x Bysin 2xCy|sin 2x| Dy答案D解析y|sin x|符合题意4f(x)2sin(x)m，对任意实数t都有f(t)f(t)，且f()3，则实数m的值等于()A1 B5C5或1 D5或1答案C解析由f(t)f(t)知，函数f(x)关于x对称，故sin()1或sin()1.当sin()1时，由f()3知2m3，得m5；当sin()1时，由f()3知2m3，得m1.5定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是

8、周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f的值为()A B.C D.答案D解析fffsinsin .6函数y3sin的最小正周期为_答案解析T.7判断函数f(x)lg(sin x)的奇偶性解当xR时，均有sin x0，又lgsin(x)lg(sin x)lglg(sin x)1lg(sin x)，f(x)f(x)f(x)为奇函数二、能力提升8下列函数中是奇函数的是()Ay|sin x| Bysin(|x|)Cysin |x| Dyxsin |x|答案D解析利用定义，显然yxsin |x|是奇函数9与函数ysin的图象完全相同的一个函数是()Aysin 3x Bysi

9、nCysin Dysin答案D10设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 013)_.答案解析f(x)sin x的周期T6.f(1)f(2)f(3)f(2 013)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)335f(33561)f(33562)f(33563)3350f(1)f(2)f(3)sin sin sin .11判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).解(1)f(x)sin 2xx2sin x，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(

10、x)，f(x)是奇函数(2)由，得sin x.函数f(x)的定义域为x|x2k或x2k，kZf(x)的定义域不关于原点对称f(x)是非奇非偶函数12已知函数f(x)log|sin x|.(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期解(1)|sin x|0，sin x0，xk，kZ.函数的定义域为x|xk，kZ0|sin x|1，log|sin x|0，函数的值域为y|y0(2)函数的定义域关于原点对称，f(x)log|sin(x)|log|sin x|f(x)，函数f(x)是偶函数(3)f(x)log|sin(x)|log|sin x|f(x)，函数f(x)是周期函数，且最小正周期