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文档简介
1、A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,AB与CD交于O, 且AB=CD,AD=BC,OB=5cm,求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,中线倍长法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形?,可以利用倍长中线法,即把中线延长一倍,来构造全等三角形。,如图,若AD为ABC的中线,,必有结论:,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E,使DE=AD,连结BE(也可连结CE)。,ABDECD,,1=E,,B=2,,EC=AB,CE
2、AB。,已知,如图AD是ABC的中线,,延长AD到点E,使DE=AD, 连结CE.,思考:若AB=3,AC=5 求AD的取值范围?,倍长中线,第三关,截长补短法,已知在ABC中,C=2B, 1=2 求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC,连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF,补短,如图所示,已知ADBC,1=2, 3=4,直线DC经过点E交AD于点D, 交BC于点C。求证:AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,证明:,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD
3、,求证:A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE。, BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在ABD和EBD中 AB=EB(已知) 1=2(已证) BD=BD(公共边) ABDEBD(S.A.S),1,2,4,3, 3+ 4180 (平角定义), A3(已证) A+ C180 (等量代换),3,2,1,*, A3(全等三角形的对应角相等), AD=CD(已知),AD=DE(已证) DE=DC(等量代换),4=C(等边对等角),AD=DE(全等三角形的对应边相等),证明:,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=C
4、D,求证:A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F,使BF=BC,连结DF。, BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在BFD和BCD中 BF=BC(已知) 1=2(已证) BD=BD(公共边) BFDBCD(S.A.S),1,2,4,3, FC(已证)4=C(等量代换),3,2,1,*, FC(全等三角形的对应角相等), AD=CD(已知),DF=DC(已证) DF=AD(等量代换),4=F(等边对等角), 3+ 4180 (平角定义) A+ C180 (等量代换),DF=DC(全等三角形的对应边相等),练习1,如图,已知ABC中,AD是BAC的角平分线,AB=AC
5、+CD,求证:C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE,使AE=AC,连结DE。, AD是BAC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在AED和ACD中 AE=AC(已知) 1=2(已证) AD=AD(公共边) AEDACD(S.A.S),3,B=4(等边对等角),4,*, C3(全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB(已知) EB=DC=ED(等量代换), 3= B+4= 2B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) C=2B(等量代换),ED=CD(全等三角形的对应边相等),练习1,如图,已知ABC中,AD是BAC的角平分线,A
6、B=AC+CD,求证:C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F,使CF=CD,连结DF。, AD是BAC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) AB=AC+CD,CF=CD(已知) AB=AC+CF=AF(等量代换), ACB= 2F(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) ACB=2B(等量代换),3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF(已证) 1=2(已证) AD=AD(公共边) ABDAFD(S.A.S), FB(全等三角形的对应角相等), CF=CD(已知) B=3(等边对等角),如图,已知直线MNPQ,且AE平分BAN、BE平分QBA,DC是过E的
7、任意线段,交MN于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC。,证明:,延长AE,交直线PQ于点F。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,第四关,周长问题转化,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“
8、垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如图, ABC中,BP、CP是ABC的角平分线,MN/BC. 若BC=6cm, AMN周长为13cm,求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+ BM+AN+NC+6,N,AM+ MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,第五关,中垂线法,ABC中,ABAC ,A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D,过D作DE AB于E,作DFAC于F。 求证:BE=CF,连接DB,DC,垂直平分线上点向两端连线段,如图,已知三角形ABC中,BC边
9、上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E,EF垂直AB交AB的延长线于点F,EG垂直AC交AC于点G。求证:(1)BF=CG (2)判定AB+AC与AF的关系,第六关,角平分线性质,如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB于点E,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,证明:,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD,求证:A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M,DNBA交BA的延长线于N。, BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) DNBA,DMBC(已知) N=DMB=90(垂直的定义) 在NBD和MBD中 N=DMB (已证) 1=2(已证) BD=BD(公共边) NBDMBD(A.A.S),1,2, 4=C(全等三角形的对应角相等),N,4,3,3,2,1,*, ND=MD(全等三角形的对应边相等), DNBA,DMBC(已知) NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD (已证) AD=CD(已知)RtNADRtMCD(H.L), 3+ 4180(平角定义), A3(已证) A+ C180(等量代换),PD=PE.,PD=PE,如图,OC 平分AOB,角平分线上点向两边作垂线段,过点P作PFOA
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