大学物理上册课件：第五章刚体力学基础

1、,本章主要内容：,1、刚体运动学（运动状态的描述） 2、定轴转动刚体的功和能 3、定轴转动刚体的角动量定理及守恒定律,1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。 刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。,5.1.1、刚体 平动与转动,2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点。,注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。,特征：,各个质点的位移、速度、加速度相等。,3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。,4、刚体的一般运动：可看成是平动和转动的叠加。,定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。,1）

2、各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。,特征：,所以，刚体定轴转动用角量描述比较方便。,由于,不同点的线速率、线位移一般不同；,刚体定轴转动的特点,1 、刚体各点的轨迹分别是过该点垂直于转轴的平面内的圆。圆心是平面与转轴的交点，半径：该点到转轴的距离。,2 、在同一时间 内，刚体上任意点的角位移 都相同。, 、任意时刻不同点的 和 都相同。,5.1.2、刚体定轴转动的角量描述,平均角速度：,角速度： （矢量）,角加速度：（矢量）,角位移:,规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。,角位置：,刚体定轴转动的运动学方程。,定轴转动只有两个转动方向。,

3、刚体作匀变速转动时，相应公式如下：,角量与线量的关系：,线速度与角速度之间的矢量关系为:,由于在定轴转动中轴的位置不变，故 只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。,例题5-1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求： 1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。,解： 1),2),( 舍去t = 0 和 t = -0.55 ),此时砂轮的角度：,解： 1) 棒做变加速运动：,例题补 一细棒绕O 点自由转动，并

4、知 , L 为棒长。 求: 1) 棒自水平静止开始运动， = / 3 时, 角速度 ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大?,平动动能 ：,转动动能 ：,5.2.1、刚体的动能,刚体绕定轴的转动惯量：,则：,注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。,一般刚体动能 ：,2 、转动惯量的计算：, 若质量离散分布： （质点，质点系）, 若质量连续分布：,其中：,1、定义：刚体对转轴的转动惯量：,5.2.2、转动惯量的计算：,描述刚体转动惯性大小的物理量。,SI单位：kg . m,例题5-4(1)求质量为m，半径为R 的均匀圆环对中心轴的转动惯量。,解: 设质量线密度为,例题5-4(2)

5、求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量,取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,解: 设质量面密度为,例题5-4 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm = dx 。,2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。,2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。,刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定;,5.2.3、对转轴的力矩,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P ，且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢。,有

6、两个方向，可用正负表示。,方向：,d=rsin 称为力F 对转轴的力臂。,由右手螺旋定则确定。,1、F在转动平面内,把F 分解为径向Fr 、横向Ft 和沿转轴方向 Fz 的三个分量。,力矩的大小:,(d 力臂),Fr 对转轴的力矩为零；,Fz的力矩不为零，但产生的力矩垂直于转轴不影响刚体的定轴转动，或它在转轴上的投影为零；,Ft的力矩沿轴向，它对刚体定轴转动有贡献。,2、F不在转轴平面内,2、当有n 个力作用于刚体，则,合外力矩等于各外力对转轴力矩的代数和。,3、 刚体的内力对转轴的力矩：,刚体的内力对转轴的力矩的矢量和为零。,1、由于角动量、力矩的方向都只有沿转轴方向的两个可能的指向，所以通

7、常用标量（正、负）表示。,与转轴平行的力对转轴不产生力矩。 与转轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩。 刚体内各质点间的内力对转轴不产生力矩。,结论：,5.2.4、定轴转动定律,由牛顿第二定律得:,故只讨论切向方程：,由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，,即：,刚体的定轴转动定律,由于各质元的角加速度均相同，则对刚体：,刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。,1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。,2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时， 小， 转速不宜 改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 转动惯量是物体转动惯性大小的量

8、度。,3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题：, 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法解题。 对转动物体应用转动定律建立方 程， 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。, 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。, 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、 角速度的正负。,类比,说明：,例题5-7 质量为m 1、半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下落加速度a 和 滑轮转动的角加速度.,联合解得：,关联方程：,解 对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。,对m 2分析受力，取向下为正方向。,由转

9、动定律：,由牛顿运动定律：,的薄圆盘）,的定滑轮（视为半径为,例题5-6,一轻绳跨过一质量为,两物体，且,和,绳两端挂质量为,，绳与滑轮无相对滑动，,滑轮轴间摩擦阻力矩为,求物体的加速度和绳中的张力。,对滑轮分析力矩，由转动定律：,（3）,（4）,（5）,对m1 、m2分析受力。由牛顿定律：,关联方程：,解：由于m2 m1 ，m1 向上加速运动，m2 向下加速运动，滑轮顺时针转动。规定物体运动方向为正方向。,联立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得,例题5-8 一刚体由长为 l ，质量为m 的均匀细棒和质量为m的小球组成，且可绕O 轴在竖直平面内转动，且轴处无摩擦。 求: 1） 刚体

10、绕轴O 的转动惯量。 2）若棒自水平静止开始运动到 棒与竖直方向成角时, 小球的角速度和 法向加速度。,2）取逆时针转动为正方向，棒与竖直 方向成角时，合外力矩:,解 1）,分离变量积分得:,小球的法向加速度 ：,由转动定律:,2、一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等 (B) 左边大于右边 (C) 右边大于左边 (D) 哪边大无法判断,5.2.5、力矩的功和功率,力矩功的表达式,由功的定义式:,4）力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。,2） 几

11、个力矩同时作用时,3） 内力矩做功为零。,1） M 恒定时,- 合外力矩,根据功率的定义，力矩的功率可表示为,5.2.6、 定轴转动刚体的动能定理,定轴转动的动能定理,设定轴转动刚体受到的合外力矩为M，根据转动定律,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能 。,5.2.7、刚体的重力势能,5.2.8、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律,刚体的重力势能,刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。,若刚体定轴转动中受重力矩M重 及其它外力矩M外的作用，则,根据势能定理,Zc是刚体质心相对重力势能参考点的高度,重力矩所

12、做的功等于重力势能增量的负值。,（选逆时针方向为正）,如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，,M外除重力矩以外的其它外力对转轴的合力矩,则定轴刚体转动系统的机械能守恒。,其中 ，刚体的重力势能为 。,下摆。求:,例题5-9一长为l质量为m,的匀质细棒，如图所示，可绕图中,水平轴o在竖直面内旋转，若轴间光滑，今使棒从水平位置自由,解： （1）由定轴转动定律可得,在水平位置,在竖直位置,竖直位置棒的角速度为,质心的速度,质心的切向加速度和法向加速度,例题5-10 已知滑轮的质量为M，半径为R ，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为，物体与斜面间光滑，

13、物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）,解 选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。,设m未释放时为初态，取此时重力势能为零。当m下滑x 后为末态。,由机械能守恒定律：,联立得,角量与线量的关系:,又有：,一、刚体对定轴的角动量,一个以角速度 绕 OZ 轴转动的均匀细棒,均匀细棒对OZ 轴 的角动量：,刚体对定轴的角动量,注意：L 为刚体对转轴的角动量,方向与转轴平行。,二、刚体的角动量定理,作用在刚体上沿

14、转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。,作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。,刚体定轴转动时，当转动惯量J 不变时，转动定律 可表示为,三、刚体的角动量守恒定律,1) 定轴转动的刚体，若 J = C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。,2）若J 不为恒量时，角动量守恒即 J = 恒量。这时，刚体 的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变,当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。,3）角动量守恒定律中的 都是相对于同一转轴的,4）守恒条件：,例:,例题5-11 一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。

15、子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒的长度为l，质量为M。,解 取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒。,设m射穿前为初态， m射穿后为末态。,初态,末态,由角动量守恒定律，得,例题5-12 如图所示，一长为2l ，质量为M的均匀细棒，可绕中点的水平轴 o 在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位 置，一质量为m的小球以速度 v0 垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度各为多少？,解: 以小球和棒组成的系统为研究对象。 取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，,

16、则系统对轴o的角动量守恒。,取垂直纸面向里为角动量正向。,根据弹性碰撞，机械能守恒。,联立可解得,例题5-13一质量为M半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度是多少？,解:如图，对盘和人组成的系统，当人走动时系统所受的对转轴的合外力矩为零，因此系统的角动量守恒。设人沿转台边缘相对地面以角速度逆时针方向绕轴走动（正方向），人的转动惯量为J1。转台以角速度相对地面顺时针方向绕轴转动，转台的转动惯量为J2。起始状态系统的角动量为零。则有,令,，,当人在盘上走

17、完一周时，应有,该式两边乘 dt 并积分，有：,可得：,补充质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平 轴O无摩擦地转动。现有一质量为m 的子弹以速度 水平射 入杆中。 求：子弹与杆一起运动时的角速度及转过的最大角度？,解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰 撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。 系统相对于O 轴的角动量守恒。,第二阶段：系统绕 O 轴转动过程中，合外力不为零，且合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能守恒。,取碰撞时杆最底端为重力势能零点,解得：,子弹与杆一起运动时的角速度：,子弹随杆转过的最大角度：,注意：当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩

18、却可以 为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。,1、 一人站在旋转平台的中央，两臂侧平举，整个系统以2rad/s的角速度旋转，转动惯量为 6.0 kgm2如果将双臂收回则系统的转动惯量变为2.0 kgm2此时系统的转动动能与原来的转动动能之比Ek / Ek0为 (A),(B),(C) 2,(D) 3,角动量守恒,练 习 题,2、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个 质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘 并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：,A）增大。 B）不变。 C）减小。 D）不能确定。,3、有一半径为R的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O且垂直于盘面的竖直固定轴OO转动，转动惯量为J台上有一人，质量为m当他站在离转轴r处时(rR)，转台和人一起以w1的角速